Козлов Валерий Васильевич

It is well known that the maximal value of the central moment of inertia of a closed homogeneous thread of fixed length is achieved on a curve in the form of a circle. This isoperimetric property plays a key role in investigating the stability of stationary motions of a flexible thread. A discrete variant of the isoperimetric inequality, when the mass of the thread is concentrated in a finite number of material particles, is established. An analog of the isoperimetric inequality for an inhomogeneous thread is proved.

В работе обсуждается динамика систем с сервосвязями, когда связи реализуются посредством управления инерционными свойствами системы. Вакономные системы представляют собой частный случай. Особое внимание уделено исследованию движения на группах Ли с левоинвариантной кинетической энергией и левоинвариантной связью. Наличие симметрий позволяет свести динамические уравнения к замкнутой системе дифференциальных уравнений с квадратичными правыми частями. В качестве основного примера рассмотрено вращение твердого тела с левоинвариантной сервосвязью — проекция угловой скорости тела на некоторое фиксированное в теле направление равна нулю.

В работе обсуждается динамика систем с сервосвязями Бегена, когда связи реализуются посредством управляемых сил. Классические неголономные системы представляют важный частный случай. Особое внимание уделено исследованию движения на группах Ли с левоинвариантной кинетической энергией и левоинвариантной связью. Наличие симметрий позволяет свести динамические уравнения к замкнутой системе дифференциальных уравнений с квадратичными правыми частями на алгебре Ли. В качестве примеров рассмотрено вращение твердого тела с левоинвариантной сервосвязью — проекция угловой скорости на некоторое фиксированное в теле направление равна нулю (обобщение неголономной задачи Суслова), а также движение саней Чаплыгина с сервосвязями определенного вида. Динамика систем с сервосвязями Бегена богаче и разнообразнее по сравнению с более привычной динамикой неголономных систем.

Как известно, в теории Бегена–Аппеля сервосвязи реализуются с помощью управляемых внешних сил. В статье дано расширение теории Бегена–Аппеля, когда сервосвязи реализуются посредством управляемого изменения инерционных свойств динамической системы. Обсуждается аналитическая механика динамических систем с сервосвязями общего вида. Ключевой принцип развиваемого подхода состоит в подходящем определении возможных перемещений систем со связями.

Рассматривается задача о первых интегралах уравнений геодезических на двумерных поверхностях, рациональных по скоростям (или импульсам). С помощью теоремы Коши–Ковалевской доказано существование нетривиальных рациональных интегралов с заданными значениями степеней числителя и знаменателя.

Обсуждается задача об условиях интегрируемости систем дифференциальных уравнений. Обобщаются классические результаты Дарбу об интегрируемости линейных неавтономных систем с неполным набором частных решений. Особое внимание уделяется линейным гамильтоновым системам. Обсуждается общая задача об интегрируемости автономных систем дифференциальных уравнений в $n$-мерном фазовом пространстве, допускающих алгебру полей симметрий размерности $\geqslant n$. С помощью одного приема Лиувилля эта задача сводится к исследованию условий интегрируемости гамильтоновых систем с линейными по импульсам гамильтонианами в фазовом пространстве вдвое большей размерности. В заключение доказывается интегрируемость автономной системы в трехмерном пространстве с двумя независимыми нетривиальными полями симметрий. Следует подчеркнуть, что при этом никаких дополнительных условий на эти поля не накладывается.

Обсуждается круг вопросов, связанных с условиями точной интегрируемости систем обыкновенных дифференциальных уравнений, выраженными через свойства тензорных инвариантов. Доказана общая теорема об интегрируемости системы $n$ дифференциальных уравнений, допускающая $n − 2$ независимых полей симметрий и инвариантную $n$-форму объема (интегральный инвариант). Результаты общего характера применяются к изучению стационарных движений сплошной среды с бесконечной проводимостью.

Развивается метод точного интегрирования канонических дифференциальных уравнений Гамильтона, основанный на поиске семейств вихревых инвариантных многообразий определенного вида. Случай потенциальных (лагранжевых) многообразий отвечает классическому методу Гамильтона–Якоби.

Изучаются инвариантные многообразия уравнений, описывающих динамику консервативных неголономных систем. Предполагается, что эти многообразия однозначно проектируются на пространство конфигураций. Условия инвариантности представлены в форме обобщенных уравнений Ламба. Найдены условия, при которых решения этих уравнений допускают гидродинамическое описание, характерное для гамильтоновых систем. В качестве примеров рассмотрены неголономные системы на группах Ли с левоинвариантной метрикой и левоинвариантными (правоинвариантными) связями.

Обсуждается структура силы Лоренца и связанная с этим аналогия между электромагнетизмом и инерцией. Рассматривается задача об инвариантных многообразиях уравнений движения заряда в электромагнитном поле и условия лагранжевости таких многообразий.

Круговая модель Каца — дискретная динамическая система со свойствами обратимости и возвращаемости. В рамках этой модели М. Кацем указаны условия необратимого поведения на «коротких» промежутках времени и продемонстрированы основные идеи и подходы Больцмана (с их возможностями и ограничениями). Мы исследуем круговую модель в рамках теории ансамблей Гиббса и демонстрируем новый подход к строгому обоснованию «нулевого начала термодинамики» с точки зрения слабой сходимости вероятностных распределений.

Рассматривается задача о качении тяжелого однородного шара по горизонтальной плоскости с учетом модели сухого трения В.Ф. Журавлёва. Показано, что если пятно контакта неограниченно уменьшается, а коэффициент трения увеличивается, то на больших конечных интервалах времени движение шара будет мало отличаться от неголономного качения.

Сформулирован обобщенный закон сухого трения Амонтона для общих лагранжевых систем со связями. При заменах обобщенных координат компоненты силы сухого трения преобразуются по ковариантному закону, а сама сила удовлетворяет условию Пенлеве. В частности, давление системы на связь не зависит от тензора анизотропного трения. Такой подход проясняет парадоксы сухого трения Пенлеве. В качестве примера получены общие формулы для силы трения скольжения, а также моментов трения качения и верчения твердого тела, соприкасающегося с поверхностью.

Рассматривается динамика континуума взаимодействующих частиц, описываемая кинетическим уравнением Власова. Выводится бесконечная цепочка точных уравнений движения такой среды в эйлеровом представлении и исследуются их общие свойства. Важным примером служит бесстолкновительный газ, демонстрирующий необратимое поведение. Несмотря на потенциальный характер взаимодействия отдельных частиц, для динамики континуума характерны диссипативные свойства. Рассматривается вопрос о возможности применения уравнения Власова к моделированию мелкомасштабной турбулентности.

В работе рассматривается модель Пуанкаре о динамике бесстолкновительного газа в прямоугольном параллелепипеде с зеркальными стенками. Обсуждается вопрос о выравнивании плотности и температуры такого газа, а также условия монотонного возрастания грубой энтропии. Все эти эффекты позволяют по-новому взглянуть на классический парадокс Гиббса о смешении газов.

В работе дано распространение классического принципа Гаусса на системы без связей. Если в качестве внешних сил взять большие анизотропные силы вязкого трения, то в пределе это общее утверждение перейдет в обычный принцип Гаусса для систем со связями.

Знаменитое тождество Лагранжа выражает вторую производную от момента инерции системы материальных точек через кинетическую энергию и однородную потенциальную энергию. В работе даны различные обобщения этого замечательного результата на системы со связями, на случай, когда потенциальная энергия квазиоднородна по координатам, а также на континуум взаимодействующих частиц, который описывается известным кинетическим уравнением Власова.

В работе рассматриваются две задачи из динамики твердого тела, к которым применяются новые методы анализа асимптотического поведения и устойчивости. Первая задача связана с движением твердого тела в безграничном объеме идеальной безвихревой жидкости. Вторая задача, имеющая с первой родственное асимптотическое поведение, описывает движение саней по наклонной плоскости. Уравнения движения этой системы являются неголономными и допускают ряд новых эффектов, нетипичных для гамильтоновых систем. Приведен обзор литературы и сформулированы новые постановки задач, связанные с падением твердого тела в идеальной и вязкой жидкости.

Развивается подход к обоснованию «нулевого» начала термодинамики, основанный на анализе слабых пределов решений уравнения Лиувилля при неограниченном возрастании времени. Указан класс линейных колебательных систем, для которых независимо от начальной плотности распределения вероятностей происходит равномерное распределение средней энергии по степеням свободы. Сюда относятся, в частности, классические симпатические маятники. Найдены условия, при которых нелинейные гамильтоновы системы с конечным числом степеней свободы стремятся (в слабом смысле) к выравниванию средних энергий взаимодействующих подсистем. Обсуждается круг вопросов, связанный со статистическими моделями термостата.

Обсуждается круг вопросов, связанных с описанием развитой двумерной турбулентности, когда происходит стабилизация средних значений величин, характеризующих нестационарный поток. Более точно, рассматривается задача о слабом пределе распределения вихрей при плоском нестационарном течении идеальной жидкости, когда время стремится к бесконечности. Обсуждается связь уравнения вихря с известным кинетическим уравнением Власова.