Руина Э.

В работе представлены линеаризованные уравнения движения для модели велосипеда, впервые предложенной в работе [86]. Данная модель состоит из четырех продольно симметричных частей, соединенных между собой идеальными шарнирами: двух колес, рамы и переднего узла — руля и вилки. Колеса предполагаются осесимметричными бесконечно тонкими дисками, движущимися без проскальзывания по опорной поверхности. В остальном геометрия и распределение масс в модели предполагаются произвольными. Данная консервативная неголономная система имеет семь степеней свободы. В линеаризованных уравнениях движения из этих степеней свободы существенную роль играют только три: угол наклона велосипеда к плоскости движения, угол поворота руля и угол, определяющий вращение заднего колеса. Для облегчения реализации модели мы выводим уравнения движения для этих трех переменных методически. Полученные уравнения движения пригодны, например, для изучения устойчивости прямолинейного равномерного движения неуправляемого велосипеда. Уравнения движения выводились вручную двумя способами и проверялись затем путем численного исследования. В почти вековой истории исследований велосипеда имеются работы, в которых получены уравнения движения велосипеда полностью согласующиеся с нашими. В других работах получены уравнения, не согласующиеся с тем, что получилось у нас. Нами предложены два теста, позволяющие проверить правильность вывода уравнений движения велосипеда, имеющихся в других работах, а также правильность численного исследования этих уравнений, если таковое проводилось. Помимо этого, полученные нами результаты могут служить для дальнейшего исследования динамики велосипеда. Для тестовой модели велосипеда мы аккуратно вычисляем характеристические значения (корни характеристического уравнения) и диапазон скоростей, в котором равномерное прямолинейное движение неуправляемого велосипеда является устойчивым, подтверждая известный уже долгие годы результат, что данная консервативная система может быть асимптотически устойчивой.

Велосипед без велосипедиста может осуществлять самостоятельное движение, не совершая падения. Согласно общепринятой точке зрения, такая устойчивость является или следствием гироскопической перцессии переднего колеса, или следствием того, что точка контакта переднего колеса находится позади точки пересечения оси поворота руля с опорной плоскостью. Мы показали, что для устойчивости неуправляемого велосипеда эти эффекты не нужны. Пользуясь вычислениями линеаризованной устойчивости, мы сконструировали велосипед с дополнительными колесами, вращающимися в обратную сторону и исключающими гироскопический эффект (кинетический момент колеса), а точка контакта переднего колеса находится перед осью поворота руля (отрицательный вынос руля). При отклонении от прямолинейного движения катящийся велосипед автоматически возвращается к вертикальному положению. Наши результаты показывают, что различные проектные параметры, такие как расположение передней массы и наклон оси поворота руля, способствуют устойчивости в совокупности взаимодействующих параметров.