Steady convective Coutte flow for quadratic heating of the lower boundary fluid layer

    Received 28 June 2017; accepted 07 October 2017

    2018, Vol. 14, no. 1, pp.  69-79

    Author(s): Privalova V., Prosviryakov E. Y.

    This paper presents an exact solution to the Oberbeck – Boussinesq system which describes the flow of a viscous incompressible fluid in a plane channel heated by a linear point source. The exact solutions obtained generalize the isothermal Couette flow and the convective motions of Birikh – Ostroumov. A characteristic feature of the proposed class of exact solutions is that they integrate the horizontal gradient of the hydrodynamic fields. An analysis of the solutions obtained is presented and thus a criterion is obtained which explains the existence of countercurrents moving in a nonisothermal viscous incompressible fluid.
    Keywords: Couette flow, Birikh – Ostroumova flow, planar Rayleigh – Benard convection, quadratic heating, exact solution, counterflow
    Citation: Privalova V., Prosviryakov E. Y., Steady convective Coutte flow for quadratic heating of the lower boundary fluid layer, Rus. J. Nonlin. Dyn., 2018, Vol. 14, no. 1, pp.  69-79
    DOI:10.20537/nd1801007


    Download File
    PDF, 367.73 Kb

    References
    [1] Couette M., “Études sur le frottement des liquides”, Ann. Chim. Phys. (6), 21 (1890), 433–510
    [2] Stokes G. G., “On the effect of the internal friction of fluid on the motion of pendulums”, Trans. Camb. Philos. Soc., 9, part 2 (1851), 8–106
    [3] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Теоретическая физика: В 10 тт., т. 6, Гидродинамика, 5-е изд., Физматлит, Москва, 2006, 736 с.; Landau L. D., Lifshitz E. M., Course of theoretical physics, v. 6, Fluid mechanics, 2nd ed., Butterworth/Heinemann, Oxford, 2003, 552 pp.
    [4] Гетлинг А. В., Конвекция Рэлея – Бенара. Структура и динамика, Эдиториал УРСС, Москва, 1999, 248 с.; Getling A. V., Rayleigh – Bénard convection: Structures and dynamics, Adv. Ser. Nonlinear Dyn., 11, World Sci., Singapore, 1998, 245 pp.  crossref
    [5] Кабанов А. С., Теория свободной конвекции от локальных источников с метеорологическими приложениями, Гидрометеоиздат, Ленинград, 1984, 118 с. [Kabanov A. S., The theory of free convection from local sources with meteorological applications, Gidrometeoizdat, Leningrad, 1984 (Russian)]
    [6] Зимин В. Д., Фрик П. Г., Турбулентная конвекция, Наука, Москва, 1988, 173 с. [Zimin V. D., Frieck P. G., The turbulent convection, Nauka, Moscow, 1988 (Russian)]
    [7] Аристов С. Н., Шварц К. Г., Вихревые течения адвективной природы во вращающемся слое жидкости, ПГУ, Пермь, 2006, 155 с. [Aristov S. N., Schwarz K. G., Vortex flows of advective nature in a rotating fluid layer, Perm Gos. Univ., Perm, 2006 (Russian)]
    [8] Аристов С. Н., Шварц К. Г., Вихревые течения в тонких слоях жидкости, ВятГУ, Киров, 2011, 207 с. [Aristov S. N., Schwarz K. G., Vortex flows in thin fluid layers, Vyatka Gos. Univ., Kirov, 2011 (Russian)]
    [9] Hiemenz K., “Die Grenzschicht an einem in den gleichförmigen Flüssigkeitsstrom eingetauchten geraden Kreiszylinder”, Dingler's Polytechn. J., 326 (1911), 321–324
    [10] Аристов С. Н., Привалова В. В., Просвиряков Е. Ю., “Стационарное неизотермическое течение Куэтта. Квадратичный нагрев верхней границы слоя жидкости”, Нелинейная динамика, 12:2 (2016), 167–178  mathnet; Aristov S. N., Privalova V. V., Prosviryakov E. Yu., “Stationary nonisothermal Couette flow. Quadratic heating of the upper boundary of the fluid layer”, Nelin. Dinam., 12:2 (2016), 167–178  crossref
    [11] Остроумов Г. А., Свободная конвекция в условиях внутренней задачи, ГИТТЛ, Москва, 1952, 256 с.; Ostroumov G. A., Free convection under the condition of the internal problem (NACA-TM-1407, Rept-4281), NASA, Washington, D.C., 1958, 239 pp.
    [12] Бирих Р. В., “О термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости”, ПМТФ, 7:3 (1966), 69–72; Birikh R. V., “Thermocapillary convection in a horizontal layer of liquid”, J. Appl. Mech. Tech. Phys., 7:3 (1966), 43–44  crossref
    [13] Аристов С. Н., Просвиряков Е. Ю., “Неоднородные течения Куэтта”, Нелинейная динамика, 10:2 (2014), 177–182  mathnet [Aristov S. N., Prosviryakov E. Yu., “Inhomogeneous Couette flows”, Nelin. Dinam., 10:2 (2014), 177–182 (Russian)]
    [14] Аристов С. Н., Просвиряков Е. Ю., “Об одном классе аналитических решений стационарной осесимметричной конвекции Бенара – Марангони вязкой несжимаемой жидкости”, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2013, № 3(32), 110–118  mathnet  crossref [Aristov S. N., Prosviryakov E. Yu., “On one class of analytic solutions of the stationary axisymmetric convection Bénard – Marangoni viscous incompressible fluid”, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2013, no. 3(32), 110–118 (Russian)]
    [15] Аристов С. Н., Просвиряков Е. Ю., “Точные решения термокапиллярной конвекции при локализованном нагреве плоского слоя вязкой несжимаемой жидкости”, Вестн. Казан. гос. техн. ун-та, 2014, № 3, 3–10 [Aristov S. N., Prosviryakov E. Yu., “Exact solutions of thermocapillary convection in a localized heating of a plane layer of a viscous incompressible fluid”, Vestn. Kazan. Gos. Tekhn. Univ., 2014, no. 3, 7–12 (Russian)]
    [16] Аристов С. Н., Просвиряков Е. Ю., “О слоистых течениях плоской свободной конвекции”, Нелинейная динамика, 9:4 (2013), 651–657  mathnet [Aristov S. N., Prosviryakov E. Yu., “On layered flows of planar free convection”, Nelin. Dinam., 9:4 (2013), 651–657 (Russian)]
    [17] Андреев В. К., Гапоненко Ю. А., Гончарова О. Н., Пухначев В. В., Современные математические модели конвекции, Физматлит, Москва, 2008, 368 с.; Andreev V. K., Gaponenko Yu. A., Goncharova O. N., Pukhnachev V. V., Mathematical models of convection, De Gruyter Stud. Math. Phys., 5, de Gruyter, Berlin, 2012, xv, 417 pp.
    [18] Андреев В. К., Решения Бириха уравнений конвекции и некоторые его обобщения, Препринт № 1-10, ИВМ СО РАН, Красноярск, 2010, 68 с. [Andreev V. K., Birikh solution of convection equations and some of its generalizations, Preprint № 1–10, Inst. Computer Modeling, Sib. Branch, Russian Acad. of Sci., Krasnoyarsk, 2010 (Russian)]
    [19] Goncharova O., Kabov O., “Gas flow and thermocapillary effects of fluid flow dynamics in a horizontal layer”, Microgravity Sci. Technol., 21, suppl. 1 (2009), 129–137  crossref
    [20] Сидоров А. Ф., “О двух классах решений уравнений механики жидкости и газа и их связи с теорией бегущих волн”, ПМТФ, 30:2 (1989), 34–40; Sidorov A. F., “Two classes of solutions of the fluid and gas mechanics equations and their connection to traveling wave theory”, J. Appl. Mech. Tech. Phys., 30:2 (1989), 197–203  crossref
    [21] Броман Г. И., Руденко О. В., “Затопленная струя Ландау: Точные решения, их смысл и приложения”, УФН, 180:1 (2010), 97–104  mathnet  crossref; Broman G. I., Rudenko O. V., “Submerged Landau jet: Exact solutions, their meaning and application”, Physics–Uspekhi, 53:1 (2010), 91–98
    [22] Скульский О. И., Аристов С. Н., Механика аномально вязких жидкостей, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Москва – Ижевск, 2003, 156 с. [Skul'skii O. I., Aristov S. N., Mechanics of anomalous viscous fluids, R&C Dynamics, Institute of Computer Science, Moscow – Izhevsk, 2003 (Russian)]
    [23] Lin C. C., “Note on a class of exact solutions in magneto-hydrodynamics”, Arch. Rational Mech. Anal., 1:1 (1957), 391–395  crossref
    [24] Nemenyi P. F., “Recent developments in inverse and semi-inverse methods in the mechanics of continua”, Advances in Applied Mechanics, v. 2, eds. R. von Mises, Th. von Kármán, Acad. Press, New York, 1951, 123–151  crossref
    [25] Riabouchinsky D., “Quelques considérations sur les mouvements plans rotationnels d’un liquide”, C. R. Hebd. Acad. Sci., 179 (1924), 1133–1136
    [26] Galaktionov V. A., Svirshchevskii S. R., Exact solutions and invariant subspaces of nonlinear partial differential equations in mechanics and physics, CRC, Boca Raton, Fla., 2007, 528 pp.
    [27] Аристов С. Н., Князев Д. В., Полянин А. Д., “Точные решения уравнений Навье – Стокса с линейной зависимостью компонент скорости от двух пространственный переменных”, ТОХТ, 43:5 (2009), 547–566; Aristov S. N., Knyazev D. V., Polyanin A. D., “Exact solutions of the Navier – Stokes equations with the linear dependence of velocity components on two space variables”, Theor. Found. Chem. Eng., 43:5 (2009), 642–662  crossref
    [28] Аристов С. Н., Полянин А. Д., “Новые классы точных решений уравнений Эйлера”, Докл. РАН, 419:3 (2008), 328–333  mathnet; Aristov S. N., Polyanin A. D., “New classes of exact solutions of Euler equations”, Dokl. Phys., 53:3 (2008), 166–171  crossref
    [29] Пухначев В. В., “Симметрии в уравнениях Навье – Стокса”, Успехи механики, 4:1 (2006), 3–76 [Pukhnachev V. V., “Symmetries in Navier – Stokes equations”, Uspekhi Mekh., 4:1 (2006), 6–76 (Russian)]
    [30] Пухначев В. В., “Групповые свойства уравнений Навье – Стокса в плоском случае”, ПМТФ, 1:1 (1960), 83–90 [Pukhnachev V. V., “Group properties of the equations of Navier – Stokes in the planar case”, Prikl. Mekh. Tekhn. Fiz., 1:1 (1960), 83–90 (Russian)]
    [31] Ibragimov N. H., CRC handbook of Lie group to differential equations: Vol. 2. Applications in engineering and physical sciences, CRC Press, Boca Raton, Fla., 1995, 546 pp.
    [32] Polyanin A. D., Kutepov A. M., Vyazmin A. V., Kazenin D. A., Hydrodynamics, mass and heat transfer in chemical engineering, Taylor & Francis, London, 2002, 406 pp.
    [33] Аристов С. Н., Князев Д. В., “Течения вязкой жидкости между подвижными параллельными плоскостями”, Изв. РАН. Механика жидкости и газа, 2012, № 4, 55–61; Aristov S. N., Knyazev D. V., “Viscous fluid flow between moving parallel plates”, Fluid Dynam., 47:4 (2012), 476–482  crossref
    [34] Петров А. Г., “Точное решение уравнений Навье – Стокса в слое жидкости между движущимися параллельно пластинами”, ПМТФ, 53:5 (2012), 13–18; Petrov A. G., “Exact solution of the Navier – Stokes equations in a fluid layer between the moving parallel plates”, J. Appl. Mech. Tech. Phys., 53:5 (2012), 642–646  crossref
    [35] Коротаев Г. К., Михайлова Э. Н., Шапиро Н. Б., Теория экваториальных противотечений в Мировом океане, Наукова думка, Киев, 1986, 208 с. [Korotaev G. K., Mikhailova E. N., Shapiro N. B., Theory of equatorial countercurrents in the World Ocean, Naukova Dumka, Kiev, 1986 (Russian)]



    Creative Commons License
    This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NoDerivs 3.0 Unported License