Астахов С. В.

С помощью численного анализа среднего времени возврата в $\varepsilon$-окрестность выбранной точки хаотического аттрактора вводится определение локальной фрактальной размерности. Исследуется одномерное отображение Фейгенбаума, а также отображения Лози и Эно. Показано, что для квазигиперболического аттрактора Лози локальная размерность слабо зависит от точки на аттракторе и близка к фрактальной размерности аттрактора. Для квазиаттракторов в системах Эно и Фейгенбаума локальная размерность существенно зависит от рассматриваемой области аттрактора и даже от размера $\varepsilon$-окрестности рассматриваемой точки на аттракторе. Причиной является неоднородность структуры квазиаттрактора, типичная для негиперболических хаотических аттракторов.

Методом численного эксперимента рассмотрены статистические характеристики времен возврата Пуанкаре для двумерного отображения с хаотическим нестранным аттрактором. Впервые совместно анализируются локальный и глобальный подходы к проблеме. Выявлены условия соответствия локального подхода теореме Каца, включая случай зашумленной системы. Подтверждены теоретические результаты глобального описания проблемы возвратов Пуанкаре, представлены результаты расчетов размерности Афраймовича–Песина.

Исследуется эффект синхронизации системы двух связанных осцилляторов Ван дер Поля внешним гармоническим сигналом. Проводится бифуркационный анализ явления на основе фазового приближения. Установлены бифуркационные механизмы полной и частичной синхронизации. Описан новый тип бифуркации: седло-узловая бифуркация инвариантных кривых, которая отвечает седло-узловой бифуркации инвариантных торов в полной системе дифференциальных уравнений исследуемой динамической системы. Представлены результаты радиофизического эксперимента, иллюстрирующие бифуркационный механизм, обнаруженный в численном эксперименте. В физическом эксперименте рассмотрена синхронизация в окрестности резонансов на торе с числами вращения 1 : 1 и 1 : 3.