Выберите язык: Ru / En
0
2013
Impact Factor

    Маркеев Анатолий Павлович

    Anatoly Markeev
    119526, Россия, г. Москва, пр. Вернадского, 101, стр. 1
    anat-markeev@mail.ru
    Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН

    Публикации:

    Маркеев А. П.
    Подробнее
    Изучается движение по инерции материальной точки в плоской области, ограниченной двумя соосными параболами. Внутри области точка движется прямолинейно, соударения с граничными кривыми предполагаются абсолютно упругими. Существует двухзвенная периодическая траектория, для которой точка попеременно соударяется с граничными параболами в их вершинах, а в промежутках между соударениями точка движется по общей оси парабол. Исследуется нелинейная задача об устойчивости этой двухзвенной траектории точки.
    Ключевые слова: отображение, канонические преобразования, система Гамильтона, устойчивость
    Цитирование: Маркеев А. П.,  Об устойчивости двухзвенной траектории параболоидного бильярда Биркгофа, Нелинейная динамика, 2016, т. 12, № 1, с. 75-90
    DOI:10.20537/nd1601005
    Маркеев А. П.
    Подробнее
    Исследуется устойчивость движения тонкого однородного диска в однородном поле тяжести над неподвижной горизонтальной плоскостью. Соударения диска и плоскости считаются абсолютно упругими, а трение пренебрежимо малым. В невозмущенном движении диск вращается с постоянной угловой скоростью вокруг своего вертикального диаметра, а его центр тяжести в результате соударений совершает периодические колебания вдоль фиксированной вертикали. Задача об устойчивости зависит от двух безразмерных параметров, характеризующих величину угловой скорости диска и высоту его подскока над плоскостью в невозмущенном движении. Получено строгое решение задачи об устойчивости для всех физически допустимых значений этих параметров.
    Ключевые слова: устойчивость, отображение, канонические преобразования
    Цитирование: Маркеев А. П.,  Об устойчивости перманентных вращений диска при наличии его соударений с горизонтальной плоскостью, Нелинейная динамика, 2015, т. 11, № 4, с. 685–707
    DOI:10.20537/nd1504005
    Маркеев А. П.
    Подробнее
    Изучаются отображения, сохраняющие площадь. Предполагается, что отображение имеет неподвижную точку и аналитично в малой ее окрестности. Основной результат состоит в разработке конструктивного алгоритма исследования устойчивости неподвижной точки в критических случаях, когда члены первых степеней (до третьей включительно) рядов, задающих отображение, не решают вопроса об устойчивости.
    В качестве приложения решена задача обу стойчивости вертикального периодического движения шара при наличии его соударений с эллипсоидальной абсолютно гладкой цилиндрической поверхностью с горизонтальной образующей.
    Задача об исследовании сохраняющих площадь отображений берет свое начало в методе поверхностей сечения Пуанкаре [1]. Фундаментальным аспектам этой задачи посвящены классические труды Биркгофа [2–4], Леви-Чивиты [5], Зигеля [6, 7], Мозера [7–9]. Дальнейшее рассмотрение задачи содержится в работах Рюссмана [10], Стернберга [11], Брюно [12, 13], Белицкого [14] и других авторов.
    Ключевые слова: отображение, канонические преобразования, система Гамильтона, устойчивость
    Цитирование: Маркеев А. П.,  Об устойчивости неподвижных точек отображений, сохраняющих площадь, Нелинейная динамика, 2015, т. 11, № 3, с. 503-545
    DOI:10.20537/nd1503005
    Маркеев А. П.
    Подробнее
    Исследуется периодическая по времени система с одной степенью свободы. Предполагается, что она имеет положение равновесия, в окрестности которого функция Гамильтона системы представима сходящимся рядом, в котором нет членов второй степени, а члены до некоторой конечной степени $\ell$ не зависят явно от времени. Предлагается алгоритм построения канонического преобразования, упрощающего структуру функции Гамильтона до членов степени $\ell$ включительно.
    В качестве приложения рассмотрен один особый случай, когда разложение функции Гамильтона начинается с членов третьей степени. Для этого случая получены достаточные условия неустойчивости положения равновесия по формам четвертой и пятой степеней.
    Ключевые слова: система Гамильтона, канонические преобразования, устойчивость
    Цитирование: Маркеев А. П.,  О преобразовании Биркгофа в случае полного вырождения квадратичной части функции Гамильтона, Нелинейная динамика, 2015, т. 11, № 2, с. 343-352
    DOI:10.20537/nd1502009
    Маркеев А. П.
    Подробнее
    Рассматриваются канонические дифференциальные уравнения, описывающие движение материальной системы с одной степенью свободы. Предполагается, что существует равновесие, совпадающее с началом координат фазового пространства. Считается, что в достаточно малой окрестности положения равновесия функция Гамильтона представима сходящимся рядом, причем этот ряд не содержит членов второй степени, а члены третьей и четвертой степеней не зависят от времени. Найдены линейные вещественные канонические преобразования, приводящие члены третьей и четвертой степеней к простейшим формам. Полученная на основе этих форм классификация рассматриваемых систем используется при обсуждении вопроса об устойчивости положения равновесия.
    Ключевые слова: система Гамильтона, канонические преобразования, устойчивость
    Цитирование: Маркеев А. П.,  Упрощение структуры форм третьей и четвертой степеней в разложении функции Гамильтона при помощи линейного преобразования, Нелинейная динамика, 2014, т. 10, № 4, с. 447-464
    DOI:10.20537/nd1404005
    Маркеев А. П.
    Подробнее
    Исследуется движение двух одинаковых маятников, связанных линейной упругой пружиной произвольной жесткости. Движение происходит в однородном поле тяжести в фиксированной вертикальной плоскости. Основное внимание уделено задаче об орбитальной устойчивости в первом (линейном) приближении периодического движения, в котором маятники совершают колебания в одну сторону с одинаковой, произвольной по величине амплитудой (один из двух возможных типов нелинейных нормальных колебаний). Уравнения возмущенного движения содержат два параметра, один из которых характеризует жесткость пружины, связывающей маятники, а второй задает амплитуду изучаемых колебаний маятников. В плоскости этих параметров выделены области устойчивости и неустойчивости.

    Ранее были исследована задача о произвольных линейных и нелинейных колебаниях малой амплитуды в случае пружины малой жесткости [1, 2].
    Ключевые слова: маятник, нелинейные колебания, устойчивость
    Цитирование: Маркеев А. П.,  О движении связанных маятников, Нелинейная динамика, 2013, т. 9, № 1, с. 27-38
    DOI:10.20537/nd1301003
    Маркеев А. П.
    Подробнее
    Рассматривается система, образованная «несущим» твердым телом и «несомой» материальной точкой, которая движется по заданному закону вдоль кривой, жестко скрепленной с телом. Движение происходит в однородном поле тяжести над неподвижной абсолютно гладкой горизонтальной плоскостью. При движении несущее тело может соударяться с плоскостью. Величина коэффициента восстановления при ударе считается произвольной. Получены уравнения, описывающие как свободное движение системы над плоскостью, так и моменты соударений. Указано несколько частных решений уравнений движения, и в некоторых случаях исследована их устойчивость.

    В случае, когда несущее тело динамически симметрично, а материальная точка движется вдоль оси симметрии по произвольному закону, найдено общее решение уравнений свободного движения тела в квадратурах, обобщающее решение, соответствующее классической регулярной прецессии в случае Эйлера.

    Показано, что для существования поступательного движения несущего тела в режиме его свободного полета над плоскостью в общем случае необходимо, чтобы материальная точка двигалась относительно тела в соответствии с законом площадей.
    Ключевые слова: динамика систем твердых тел, соударение, периодическое движение, устойчивость
    Цитирование: Маркеев А. П.,  К динамике твердого тела, несущего материальную точку, Нелинейная динамика, 2012, т. 8, № 2, с. 219-229
    DOI:10.20537/nd1202002
    Маркеев А. П.
    Подробнее
    Рассматривается материальная система, образованная «несущим» твердым телом (оболочкой) и «несомым» телом (материальной точкой). Система движется в однородном поле тяжести над неподвижной абсолютно гладкой горизонтальной плоскостью. Центральный эллипсоид инерции оболочки является эллипсоидом вращения. Материальная точка движется по заданному гармоническому закону вдоль отрезка прямой, жестко связанного с оболочкой и лежащего на оси ее динамической симметрии. При движении оболочка может соударяться с плоскостью. Величина коэффициента восстановления при ударе считается произвольной. Получены условия существования периодического движения оболочки, когда ее ось симметрии занимает неизменное вертикальное положение, а сама оболочка вращается вокруг вертикали с постоянной произвольной по величине угловой скоростью. Исследована устойчивость этого периодического движения в линейном приближении.
    Ключевые слова: динамика систем твердых тел, соударение, периодическое движение, устойчивость
    Цитирование: Маркеев А. П.,  О периодическом движении твердого тела, несущего материальную точку, при наличии его соударений с горизонтальной плоскостью, Нелинейная динамика, 2012, т. 8, № 1, с. 71-81
    DOI:10.20537/nd1201005
    Маркеев А. П.
    Подробнее
    Изучается нелинейное уравнение движения системы типа «маятник». От классического уравнения математического маятника оно отличается наличием параметрического возмущения: соответствующая рассматриваемому уравнению потенциальная энергия «маятника» — двухступенчатая, периодическая, кусочно-постоянная функция времени. Уравнение зависит от двух параметров, характеризующих среднее значение по времени параметрического возмущения и глубину его «пульсации». Величины этих параметров произвольны. Существует два положения равновесия, отвечающих висящему и опрокинутому «маятнику». Рассматривается задача об их устойчивости. В первом приближении она приводит к необходимости анализа известного линейного уравнения Мейсснера. Проведено подробное исследование этого уравнения, дополняющее и уточняющее уже известные результаты, и решена нелинейная задача об устойчивости равновесий.
    Ключевые слова: параметрические колебания, устойчивость, резонанс, отображение
    Цитирование: Маркеев А. П.,  О нелинейном уравнении Мейсснера, Нелинейная динамика, 2011, т. 7, № 3, с. 531-547
    DOI:10.20537/nd1103009
    Маркеев А. П.
    Подробнее
    Исследуется нелинейная задача о движении двух одинаковых маятников, связанных линейной упругой пружиной, в окрестности их устойчивого вертикального положения равновесия. Рассматривается случай, близкий к резонансу 1:1, когда жесткость пружины мала. Решена задача о существовании и орбитальной устойчивости периодических движений маятников, рождающихся из положения равновесия. Отмечено существование движений, асимптотических к одному из периодических движений. Дан анализ условно-периодических движений приближенной системы, учитывающей члены до четвертой степени включительно в нормализованной функции Гамильтона задачи. При помощи КАМ-теории рассмотрен вопрос о сохранении этих движений в полной нелинейной системе, учитывающей члены всех степеней в разложении функции Гамильтона в ряд в достаточно малой окрестности положения равновесия.
    Ключевые слова: маятник, нелинейные колебания, резонанс, устойчивость
    Цитирование: Маркеев А. П.,  Нелинейные колебания симпатических маятников, Нелинейная динамика, 2010, т. 6, № 3, с. 605-621
    DOI:10.20537/nd1003009
    Маркеев А. П.
    Подробнее
    Исследуется движение твердого тела относительно центра масс под действием гравитационных моментов центрального ньютоновского силового поля. Орбита центра масс предполагается эллиптической, эксцентриситет орбиты считается равным эксцентриситету орбиты Меркурия. Центральный эллипсоид инерции тела произволен. Рассматривается задача о существовании плоских периодических вращений при резонансе 3:2 меркурианского типа и исследуется их устойчивость по Ляпунову. В случае плоских возмущений решена нелинейная задача об устойчивости, а в случае, когда возмущения периодических вращений являются произвольными пространственными, исследована устойчивость в первом (линейном) приближении.
    Ключевые слова: Меркурий, резонанс, периодическое движение, устойчивость
    Цитирование: Маркеев А. П.,  К теории резонансного вращения Меркурия, Нелинейная динамика, 2009, т. 5, № 1, с. 87-98
    DOI:10.20537/nd0901011
    Маркеев А. П.
    Подробнее
    Излагаются основные методы, алгоритмы и результаты исследования нелинейных колебаний и устойчивости стационарных вращений и периодических движений твердого тела в однородном поле тяжести при наличии его соударений с твердой поверхностью.
    Ключевые слова: твердое тело, связи, соударения, устойчивость
    Цитирование: Маркеев А. П.,  Динамика твердого тела при наличии его соударений с твердой поверхностью, Нелинейная динамика, 2008, т. 4, № 1, с. 1-38
    DOI:10.20537/nd0801001

    Вернуться к списку