# On the motion of a heavy rigid body in two special cases of S.V.Kovalevskaya’s solution

Received 12 September 2017; accepted 20 December 2017

2018, Vol. 14, no. 1, pp.  123-138

Author(s): Gorr G. V., Shchetinina E. K.

Two particular cases of the Kovalevskaya solution are studied. A modified Poinsot method is applied for the kinematic interpretation of the body motion. According to this method, the body motion is represented by rolling without sliding of the mobile hodograph of the vector collinear to the angular velocity vector along the stationary hodograph of this vector. Two variants are considered: the first variant is characterized by a plane hodograph of the auxiliary vector; the second variant corresponds to the case where the hodograph of this vector is located on the inertia ellipsoid of the body.
Keywords: Kovalevskaya’s solution, Poinsot’s method
Citation: Gorr G. V., Shchetinina E. K., On the motion of a heavy rigid body in two special cases of S.V.Kovalevskaya’s solution, Rus. J. Nonlin. Dyn., 2018, Vol. 14, no. 1, pp.  123-138
DOI:10.20537/nd1801010

## References

[1] Ковалевская С. В., “Задача о вращении твердого тела около неподвижной точки”, Научные труды / С. В. Ковалевская, Классики науки, АН СССР, Москва, 1948, 153–220; Kowalevski S., “Sur le probléme de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe”, Acta Math., 12 (1889), 177–232
[2] Горр Г. В., Кудряшова Л. В., Степанова Л. А., Классические задачи динамики твердого тела. Развитие и современное состояние, Наукова думка, Киев, 1978, 296 с. [Gorr G. V., Kudryashova L. V., Stepanova L. A., Classical problems of the dynamics of a rigid body. Development and current status, Naukova dumka, Kiev, 1978 (Russian)]
[3] Делоне Н. Б., “К вопросу о геометрическом истолковании интегралов движения твердого тела около неподвижной точки, данных С. В. Ковалевской”, Матем. сб., 16:2 (1892), 346–351   [Delaunay N. B., “Zur Frage von der geometrischen Deutung der Integrale von S. Kowalevski bei der Bewegung eines starren Körpers um einen festen Punkte”, Mat. Sb., 16:2 (1892), 346–351 (Russian)]
[4] Коваль В. И., Харламов П. В., “О годографах угловой скорости гироскопа Ковалевской в случае Делоне”, Механика твердого тела, 1979, № 11, 3–17 [Koval V. I., Kharlamov P. V., “On the hodographs of angular velocity for Kovalevskaja gyroscope in the Delone case”, Mekh. Tverd. Tela, 1979, no. 11, 3–17 (Russian)]
[5] Жуковский Н. Е., “Геометрическая интерпретация рассмотренного С. В. Ковалевской случая движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки”, Собр. соч., т. 1, Гостехиздат, Москва, 1948, 294–339 [Zhukovskii N. E., “Geometric interpretation of the case considered by Kovalevskaya of the motion of a heavy rigid body about a fixed point”, Collected Works, v. 1, Gostekhizdat, Moscow, 1948, 294–339 (Russian)]
[6] Аппельрот Г. Г., “По поводу $\mathrm{§}\phantom{\rule{thinmathspace}{0ex}}1$$\S\,1$ мемуара С. В. Ковалевской «Sur le problème de la rotation d'un corps solide au tour d'un point fixe»”, Матем. сб., 16:3 (1892), 483–507   [Appel'rot G. G., “Concerning section 1 of the memoir of S. V. Kovalevskaya «Sur le problème de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe», and the appendix to this paper”, Mat. Sb., 16:3 (1892), 483–507 (Russian)]
[7] Аппельрот Г. Г., “Дополнение к статье «По поводу первого параграфа мемуара С. В. Ковалевской»”, Матем. сб., 16:3 (1892), 592–596  ; Appelroth H., “Beiträge zur Abhandlung: «Über den ersten Paragraphen der Abhandlung von S. Kowalevski: “Sur le problème de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe”»”, Mat. Sb., 16:3 (1892), 592–596
[8] Докшевич А. И., Решения в конечном виде уравнений Эйлера – Пуассона, Наукова думка, Киев, 1992, 168 с. [Dokshevich A. I., Finite-form solutions of the Euler – Poisson equations, Naukova Dumka, Kiev, 1992 (Russian)]
[9] Борисов А. В., Мамаев И. С., Динамика твердого тела: Гамильтоновы методы, интегрируемость, хаос, Институт компьютерных исследований, Москва – Ижевск, 2005, 576 с. [Borisov A. V., Mamaev I. S., Rigid body dynamics: Hamiltonian methods, integrability, chaos, R&C Dynamics, Institute of Computer Science, Izhevsk, 2005 (Russian)]
[10] Колосов Г. В., “Об одном свойстве задачи Ковалевской о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки”, Тр. отд. физ. наук общ-ва любителей естествознания, антропологии и этнографии, 11:1 (1902), 5–12 [Kolosov G. V., On some property of the Kovalevskaya problem on the rotation of a heavy rigid body about a fixed point, Sharapov, Moscow, 1901 (Russian)]
[11] Млодзеевский Б. К., “Об одном случае движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки”, Матем. сб., 18:1 (1896), 76–85   [Mlodzieiowski B. C., “Sur un cas du mouvement d'un corps pesant autour d'un point fixe”, Mat. Sb., 18:1 (1896), 76–85 (Russian)]
[12] Козлов В. В., Методы качественного анализа в динамике твердого тела, МГУ, Москва, 1980, 232 с. [Kozlov V. V., Methods of qualitative analysis in the dynamics of a rigid body, 2nd ed., R&C Dynamics, Institute of Computer Science, Moscow – Izhevsk, 2000, 248 pp. (Russian)]
[13] Харламов М. П., Топологический анализ интегрируемых задач динамики твердого тела, ЛГУ, Ленинград, 1988, 200 с. [Kharlamov M. P., Topological analysis of integrable problems of rigid body dynamics, LGU, Leningrad, 1988, 200 pp. (Russian)]
[14] Гашененко И. Н., “Геометрический анализ двухчастотных квазипериодических движений гироскопа Ковалевской”, Механика твердого тела, 1990, № 22, 3–10 [Gashenenko I. N., “Geometric analysis of two-frequency quasiperiodic motions of the Kovalevskaya gyroscope”, Mekh. Tverd. Tela, 1990, no. 22, 3–10 (Russian)]
[15] Харламов П. В., Лекции по динамике твердого тела, НГУ, Новосибирск, 1965, 221 с. [Kharlamov P. V., Lectures on the dynamics of a rigid body, NGU, Novosibirsk, 1965 (Russian)]
[16] Харламов П. В., “Кинематическое истолкование движения тела, имеющего неподвижную точку”, ПММ, 28:3 (1964), 502–507; Kharlamov P. V., “Kinematic interpretation of the motion of a body with a fixed point”, J. Appl. Math. Mech., 28:3 (1964), 615–621
[17] Poinsot L., “Théorie nouvelle de la rotation des corps”, J. Math. Pures Appl. (1), 16 (1851), 9–129
[18] Гашененко И. Н., Горр Г. В., Ковалев А. М., Классические задачи динамики твердого тела, Наукова думка, Киев, 2012, 401 с. [Gashenenko I. N., Gorr G. V., Kovalev A. M., Classical problems of the rigid body dynamics, Naukova Dumka, Kiev, 2012 (Russian)]
[19] Горр Г. В., Ковалев А. М., Движение гиростата, Наукова думка, Киев, 2013, 408 с. [Gorr G. V., Kovalev A. M., The gyrostat motion, Naukova Dumka, Kiev, 2013 (Russian)]
[20] Горр Г. В., Савченко А. Я., “Об одном случае движения тяжелого твердого тела в решении С. В. Ковалевской”, Механика твердого тела, 1970, № 2, 66–73 [Gorr G. V., Savchenko A. Ya., “On one case of motion of a heavy rigid body in the S.V. Kovalevskaya solution”, Mekh. Tverd. Tela, 1970, no. 2, 66–73 (Russian)]
[21] Горр Г. В., Савченко А. Я., “Об одном периодическом движении в решении С. В. Ковалевской”, Механика твердого тела, 1971, № 3, 64–69 [Gorr G. V., Savchenko A. Ya., “On a periodic motion in the S.V. Kovalevskaya solution”, Mekh. Tverd. Tela, 1971, no. 3, 64–69 (Russian)]
[22] Харламов П. В., “Движение гироскопа С. В. Ковалевской в случае Б. К. Млодзеевского”, Механика твердого тела, 1974, № 7, 9–17 [Kharlamov P. V., “The motion of S. V. Kovalevskaya gyroscope in the B. K. Mlodzeevsky case”, Mekh. Tverd. Tela, 1974, no. 7, 9–17 (Russian)]
[23] Харламов П. В., Коваль В. И., “Движение гироскопа Ковалевской в случае Делоне”, Механика твердого тела, 1982, № 14, 38–54 [Kharlamov P. V., Koval V. I., “The motion of the Kovalevskaya gyroscope in the Delaunay case”, Mekh. Tverd. Tela, 1982, no. 14, 38–54 (Russian)]
[24] Гашененко И. Н., Касяник В. Н., “Один частный случай движения гироскопа С. В. Ковалевской”, Механика твердого тела, 1983, № 15, 31–34 [Gashenenko I. N., Kasyanik V. N., “One particular case of motion of S.V. Kovalevskaya gyroscope”, Mekh. Tverd. Tela, 1983, no. 15, 31–34 (Russian)]
[25] Горр Г. В., “Об одном подходе в применении теоремы Пуансо кинематического истолкования движения тела с неподвижной точкой”, Механика твердого тела, 2012, № 4, 26–36 [Gorr G. V., “On an approach in the application of the Poinsot theorem to the kinematic interpretation of the motion of a body with a fixed point”, Mekh. Tverd. Tela, 2012, no. 4, 26–36 (Russian)]
[26] Горр Г. В., Синенко А. И., “О кинематическом истолковании движения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой”, ПММ, 78:3 (2014), 334–345; Gorr G. V., Sinenko A. I., “A kinematic interpretation of the motion of a heavy rigid body with a fixed point”, J. Appl. Math. Mech., 78:3 (2014), 233–241
[27] Горр Г. В., Ковалев А. М., “Применение параметров Родрига – Гамильтона при истолковании движения твердого тела с неподвижной точкой”, ПММ, 79:5 (2015), 635–643; Gorr G. V., Kovalev A. M., “The use of Rodrigues – Hamilton parameters in interpreting the motion of a rigid body with a fixed point”, J. Appl. Math. Mech., 79:5 (2015), 446–452
[28] Лурье А. И., Аналитическая механика, Физматгиз, Москва, 1961, 824 с. [Lurie A. I., An analytical mechanics, Fizmatgiz, Moscow, 1961 (Russian)]
[29] Челноков Ю. Н., “К теории гирогоризонткомпаса в параметрах Родрига – Гамильтона”, Прикл. механика, 20:1 (1984), 111–116 [Chelnokov Yu. N., “On the gyrohorizont compass theory in the Rodrigues – Hamilton parameters”, Prikl. Mekh., 1984, no. 1, 111–116 (Russian)]
[30] Кошляков В. Н., Параметры Родрига – Гамильтона и их приложения в механике твердого тела, Инст. матем. НАН Украины, Киев, 1994, 176 с. [Koshlyakov V. N., The Rodrigues – Hamilton parameters and their applications in the solids mechanics, Ukrainian Acad. Sci., Kiev, 1994 (Russian)]
[31] Ткаченко А. И., “О применении параметров Родрига – Гамильтона в алгоритмах определения ориентации объекта”, Кибернетика и вычислительная техника: Сб. научн. тр.: Вып. 69, Наукова думка, Киев, 1986, 47–52 [Tkachenko A. I., “On the application of the Rodrigues – Hamilton parameters in algorithms for determining the orientation of an object”, Cybernetics and computer technology, No. 69, Naukova Dumka, Kiev, 1986, 47–52 (Russian)]