Холостова Ольга Владимировна

Рассматриваются движения неавтономной периодической по времени гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в окрестности положения равновесия. Предполагается, что гамильтониан системы зависит от двух параметров $\varepsilon$ и $\alpha$, причем параметр $\varepsilon$ мал и при $\varepsilon=0$ система автономна. Предполагается также, что при $\varepsilon=0$ для некоторых значений $\alpha$ одна из частот малых линейных колебаний системы в окрестности положения равновесия является целым или полуцелым числом, а другая равна нулю, то есть в системе реализуется кратный параметрический резонанс. Рассмотрен случай, когда ранг матрицы линеаризованных при $\varepsilon=0$ в окрестности положения равновесия уравнений возмущенного движения равен трем. При достаточно малых (но отличных от нуля) $\varepsilon$ для значений $\alpha$, близких к резонансным, решен вопрос о существовании, бифуркациях и устойчивости (в линейном приближении) периодических движений системы. В качестве приложения для случаев кратных резонансов рассматриваемого типа построены периодические движения симметричного спутника в окрестности его цилиндрической прецессии на слабоэллиптической орбите.

Рассматривается движение волчка Лагранжа, точка подвеса которого совершает заданное высокочастотное периодическое движение малой амплитуды в трехмерном пространстве. Исследуется приближенная автономная система уравнений движения, записанная в форме канонических уравнений Гамильтона. Решен вопрос о существовании и числе стационарных вращений волчка вокруг оси динамической симметрии. Проведено исследование устойчивости отвечающих этим вращениям положений равновесия приведенной системы с двумя степенями свободы при фиксированном значении постоянной циклического интеграла, зависящей от угловой скорости вращения. Для случаев движения точки подвеса, допускающих стационарные вращения вокруг вертикали, проведен подробный линейный и нелинейный анализ устойчивости этих вращений и вращений вокруг наклонных осей. Для ряда других случаев движения точки подвеса проведен линейный анализ устойчивости.

Рассматриваются движения периодической по времени гамильтоновой система с двумя степенями свободы в окрестности положения равновесия, устойчивого в линейном приближении. Предполагается, что в системе реализуются одновременно слабый комбинационный резонанс третьего и сильный резонанс четвертого порядков. Исследуется характер движений приближенной (модельной) системы в зоне устойчивости резонанса четвертого порядка. Выявлены области значений параметров (коэффициентов нормализованного гамильтониана), для которых все движения системы, начинающиеся в достаточно малой окрестности положения равновесия, ограничены, получена оценка области ограниченности. Описано возмущающее влияние двойного резонанса на движения системы в пределах области ограниченности.

Рассматривается движение тяжелого твердого тела, одна из точек которого совершает заданные высокочастотные гармонические колебания вдоль вертикали. В рамках приближенной автономной системы дифференциальных уравнений движения найдены два новых типа перманентных вращений тела вокруг вертикали, обусловленных наличием быстрых вибраций и не существующих в случае тела с неподвижной точкой. Исследован вопрос об устойчивости этих движений.

Рассматриваются движения периодической по времени гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в окрестности положения равновесия, устойчивого в линейном приближении. Предполагается, что между частотами линейных колебаний системы реализуется несколько резонансных соотношений третьего порядка. Показано, что при наличии в системе двух резонансов третьего порядка имеет место неустойчивость положения равновесия при любом соотношении между резонансными коэффициентами. Получены приближенные (модельные) гамильтонианы, характерные для исследуемых резонансных случаев, проведен подробный анализ нелинейных колебаний отвечающих им систем.

Исследуется устойчивость перманентных вращений вокруг вертикали тяжелого твердого тела с неподвижной точкой (вращений Штауде) в предположении самого общего распределения масс в теле и произвольного расположения точки закрепления. В допустимых областях пятимерного пространства параметров задачи проводится подробный линейный анализ устойчивости. Для каждого набора допустимых значений параметров выписаны необходимые условия устойчивости. В ряде случаев найдены достаточные условия.

Рассматриваются движения неавтономной периодической по времени гамильтоновой системы с одной степенью свободы, функция Гамильтона которой содержит малый параметр. Начало координат фазового пространства является положением равновесия невозмущенной или полной системы, устойчивым в линейном приближении. Предполагается, что в невозмущенном гамильтониане имеет место вырождение при учете членов не выше четвертой степени (частота малых нелинейных колебаний не зависит от амплитуды) и при этом в системе реализуется один из резонансов до шестого порядка включительно. Для каждого резонансного случая построены модельные гамильтонианы и проведено качественное исследование движений модельной системы. При помощи теории периодических движений Пуанкаре и КАМ-теории дано строгое решение задачи о существовании, бифуркациях и устойчивости периодических движений исходной системы, являющихся аналитическими по дробным (при резонансах до четвертого порядка включительно) или целым (при резонансах пятого и шестого порядков) степеням малого параметра. В качестве приложений исследованы резонансные периодические движения (в случае рассматриваемого вырождения) сферического маятника и волчка Лагранжа с вибрирующей точкой подвеса.

Исследуются движения спутника — твердого тела относительно центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле на круговой орбите. Предполагается, что главные центральные моменты инерции $A$, $B$, $C$ спутника связаны соотношением $B=A+C$, соответствующим тонкой пластинке. Существуют частные движения, когда пластинка, находясь в плоскости орбиты, совершает плоские маятникообразные колебания произвольной амплитуды. Проводится линейный анализ орбитальной устойчивости этих движений. В плоскости параметров задачи — амплитуды колебаний и инерционного параметра — численно и аналитически построены области орбитальной устойчивости и неустойчивости колебаний спутника в линейном приближении.