Красильников Павел Сергеевич

This paper discusses and analyzes the dumb–bell equilibria in a generalized Sitnikov problem. This has been done by assuming that the dumb–bell is oriented along the normal to the plane of motion of two primaries. Assuming the orbits of primaries to be circles, we apply bifurcation theory to investigate the set of equilibria for both symmetrical and asymmetrical dumb–bells.
We also investigate the linear stability of the trivial equilibrium of a symmetrical dumb–bell in the elliptic Sitnikov problem. In the case of the dumb–bell length $l\geqslant 0.983819$, an instability of the trivial equilibria for eccentricity $e \in (0,\,1)$ is proved.

We study a mechanical system with two degrees of freedom simulating the motion of rotor blades on an elastic bushing of a medium-sized helicopter. For small values of some problem parameters, the destabilizing effect due to small linear viscous friction forces has been studied earlier. Here we study the problem with arbitrary large friction forces for arbitrary values of the problem parameters. In the plane of parameters, the regions of asymptotic stability and instability are calculated. As a result, necessary and sufficient conditions for the existence of a destabilizing effect under the action of potential, follower forces and arbitrary friction forces have been obtained. It is shown that, if some critical friction coefficient $k_*$ tends to infinity, then there exists a Ziegler area with arbitrarily large dissipative forces.

Исследуется задача построения однопараметрического семейства кривых Хилла в плоской круговой ограниченной задаче трех тел, когда на пассивно гравитирующую точку воздействует постоянное по модулю реактивное ускорение $w$. Предполагается, что во все время движения вектор ускорения направлен вдоль оси $Ox$, соединяющей основные тела. Получены условия существования треугольных и коллинеарных точек либрации в зависимости от $w$, исследовано поведение измененной силовой функции задачи в точках либрации. Описано шесть топологически разных типов однопараметрических семейств кривых нулевой скорости в зависимости от значений ускорения $w$. Показано, что типы семейств отличаются числом критических значений постоянной интеграла Якоби, а также упорядочением этих значений. Для системы Земля – Луна построено однопараметрическое семейство кривых Хилла для каждого из шести типов.

Изучается движение материальной точки вдоль троса, концы которого закреплены на протяженном твердом теле, центр масс которого движется по круговой орбите в центральном ньютоновском силовом поле. (Такой трос называется леером.) Уравнения движения записываются в предположении, что трос реализует идеальную одностороннюю связь. Выводятся условия, выполнение которых гарантирует нахождение на связи, то есть на границе эллипсоида, ограничивающего движение рассматриваемой точки. Исследуется существование и устойчивость положений относительного равновесия в орбитальной системе отсчета. Доказывается устойчивость интегрального многообразия движений, принадлежащих плоскости орбиты. Отмечается, что малые колебания около интегрального многообразия движений в плоскости орбиты могут быть описаны приближенным уравнением, интегрирование которого сводится к интегрированию уравнения Риккати. Устанавливается, что пространственные решения общих уравнений движения имеют хаотический характер для начальных условий из некоторой окрестности сепаратрисного движения в плоскости круговой орбиты и регулярный характер вне этой окрестности. Отмечается также тот факт, что хаотические движения, как правило, приводят к сходу со связи, то есть к движениям внутри эллипсоида.

Рассматриваются вращения Марса вокруг центра масс под действием притяжения Солнца, Юпитера и Земли. Предполагается, что Марс — осесимметричное твердое тело $(A = B)$. Орбиты Марса, Земли и Юпитера считаются эллиптическими. Независимыми малыми параметрами задачи являются средние движения Земли и Юпитера. Получена осредненная функция Гамильтона задачи и интегралы эволюционных уравнений. Построена качественная картина движений вектора кинетического момента Марса на небесной сфере единичного радиуса, экваториальная плоскость которой параллельна плоскости орбиты Юпитера.
Показано, что «классические» положения равновесия вектора кинетического момента Марса ${\bf I}_2$, принадлежащие нормали к плоскости орбиты Марса, сохраняются под действием притяжения Земли и Юпитера. Кроме того, появляются два новых равновесия вектора ${\bf I}_2$, принадлежащие нормали к плоскости орбиты Юпитера. Эти равновесия неустойчивы, через них проходят гомоклинические траектории.
Помимо этого, появляется пара неустойчивых равновесий, принадлежащих дуге большого круга, параллельного плоскости орбиты Марса. Через эти равновесия проходят четыре гетероклинические кривые. Между парами этих кривых заключены два устойчивых положения равновесия.

Исследуется устойчивость тривиального равновесия в задаче Ситникова с учетом нелинейных членов в уравнениях движения. Для гамильтоновых уравнений задачи построено, с точностью до членов третьего порядка малости включительно, отображение фазового пространства на себя в момент времени $t = 2\pi$; на основе метода точечных отображений сделаны выводы об устойчивости равновесия. Показано, что всюду в области значений эксцентриситета $e$ из интервала $[0, 1)$ имеет место устойчивость по Ляпунову, если исключить из рассмотрения дискретную последовательность значений ${e_j}$, для которых след матрицы монодромии равен $\pm2$.
Исследованы первое и второе значения эксцентриситета из указанной последовательности. Равновесие устойчиво для первого значения $e = e_1$. Второе значение эксцентриситета $e = e_2$ отвечает вырождению теорем устойчивости, поэтому требует привлечения членов порядка выше третьего. Оставшиеся значения дискретной последовательности значений эксцентриситета в работе не рассматривались.

Исследуется уравнение плоских нелинейных колебаний спутника на слабоэллиптической орбите, содержащее два малых параметра. Исследованы различные виды редукций уравнения колебаний, приводящие его к случаю одного малого параметра. Описаны недостатки такого подхода. На основе обобщенного метода усреднения с независимыми параметрами получены новые эффекты вращения спутника при внешнем и параметрическом резонансах.