Килин Александр Александрович

This paper addresses the problem of the motion of two point vortices of arbitrary strengths in an ideal incompressible fluid on a finite flat cylinder. A procedure of reduction to the level set of an additional first integral is presented. It is shown that, depending on the parameter values, three types of bifurcation diagrams are possible in the system. A complete bifurcation analysis of the system is carried out for each of them. Conditions for the orbital stability of generalizations of von Kármán streets for the problem under study are obtained.

This paper investigates the problem of a sphere with axisymmetric mass distribution rolling on a horizontal plane. It is assumed that the sphere can slip in the direction of the projection of the symmetry axis onto the supporting plane. Equations of motion are obtained and their first integrals are found. It is shown that in the general case the system considered is nonintegrable and does not admit an invariant measure with smooth density. Some particular cases of the existence of an additional integral of motion are found and analyzed. In addition, the limiting case in which the system is integrable by the Euler – Jacobi theorem is established.

This paper addresses the problem of a sphere with axisymmetric mass distribution rolling on a horizontal plane. It is assumed that there is no slipping of the sphere as it rolls in the direction of the projection of the symmetry axis onto the supporting plane. It is also assumed that, in the direction perpendicular to the above-mentioned one, the sphere can slip relative to the plane. Examples of realization of the above-mentioned nonholonomic constraint are given. Equations of motion are obtained and their first integrals are found. It is shown that the system under consideration admits a redundant set of first integrals, which makes it possible to perform reduction to a system with one degree of freedom.

This paper is concerned with the controlled motion of a three-link wheeled snake robot propelled by changing the angles between the central and lateral links. The limits on the applicability of the nonholonomic model for the problem of interest are revealed. It is shown that the system under consideration is completely controllable according to the Rashevsky – Chow theorem. Possible types of motion of the system under periodic snake-like controls are presented using Fourier expansions. The relation of the form of the trajectory in the space of controls to the type of motion involved is found. It is shown that, if the trajectory in the space of controls is centrally symmetric, the robot moves with nonzero constant average velocity in some direction.

In this paper we present a study of the dynamics of a mobile robot with omnidirectional wheels taking into account the reaction forces acting from the plane. The dynamical equations are obtained in the form of Newton – Euler equations. In the course of the study, we formulate structural restrictions on the position and orientation of the omnidirectional wheels and their rollers taking into account the possibility of implementing the omnidirectional motion. We obtain the dependence of reaction forces acting on the wheel from the supporting surface on the parameters defining the trajectory of motion: linear and angular velocities and accelerations, and the curvature of the trajectory of motion. A striking feature of the system considered is that the results obtained can be formulated in terms of elementary geometry.

This paper presents the results of the study of the dynamics of a real spherical robot of combined type in the case of control using small periodic oscillations. The spherical robot is set in motion by controlled change of the position of the center of mass and by generating variable gyrostatic momentum. We demonstrate how to use small periodic controls for stabilization of the spherical robot during motion. The results of numerical simulation are obtained for various initial conditions and control parameters that ensure a change in the position of the center of mass and a variation of gyrostatic momentum. The problem of the motion of a spherical robot of combined type on a surface that performs flat periodic oscillations is also considered. The results of numerical simulation are obtained for different initial conditions, control actions and parameters of oscillations.

В данной работе представлена модель качения без проскальзывания сферических тел по плоскости с учетом вязкого трения качения. Проведен ряд экспериментов по исследованию влияния трения на динамику качения сферического тела. Проведена верификация предложенной динамической модели трения качения для сферических тел и оценка границ ее применимости. Сформулирована методика определения коэффициентов трения качения по экспериментальным данным.

В данной работе рассмотрены две системы из субримановой геометрии. Первая система определена группой Карно с тремя образующими и вектором роста (3, 6, 14), вторая, соответственно, определена двумя образующими и вектором роста (2, 3, 5, 8). С помощью отображения Пуанкаре показана неинтегрируемость указанных систем в общем случае. Кроме того, указаны частные случаи, в которых существуют дополнительные первые интегралы.

В данной работе рассмотрено движение в идеальной жидкости неуравновешенного эллипсоида под действием силы тяжести и вращения трех внутренних роторов. Доказано, что рассматриваемая система является управляемой по конфигурационным переменным. Определены условия, при выполнении которых система является неуправляемой. Указан способ стабилизации тела в конечной точке траектории с помощью ограниченных воздействий. Построено частное решение, соответствующее движению по спиральной траектории с постоянной по модулю и направлению угловой скоростью. Найдены управления, реализующие это движение, и указаны условия, при выполнении которых данные управления являются ограниченными функциями времени.

В данной работе развиваются результаты Адамара и Гамеля о возможности подстановки неголономных связей в лагранжиан системы без изменения вида уравнений движения. Формулируются условия корректности такой подстановки для частного случая неголономных систем в наиболее простом и универсальном виде. Данные условия приводятся в терминах как обобщенных скоростей, так и квазискоростей. Также в работе обсуждается вывод и редукция уравнений движения произвольного колесного экипажа. В частности, доказана эквивалентность (с точностью до дополнительных квадратур) задач о произвольном колесном экипаже и аналогичном экипаже, у которого колеса заменены на коньки. В качестве примеров разобраны задачи об одноколеснике и о колесном экипаже с двумя вращающимися колесными парами.

В данной работе мы рассматриваем задачу движения в идеальной жидкости твердого тела с двумя внутренними массами, которые перемещаются по окружностям. Показана управляемость системы на нулевом уровне первых интегралов. Построены элементарные гейты, позволяющие реализовать перемещение тела из одной точки в другую. Указаны препятствия к управляемости движения вдоль произвольной траектории.

В статье представлены результаты экспериментальных исследований движения по плоскости сфероробота комбинированного типа, приводимого в движение внутренней колесной тележкой с расположенной на ней ротором. Управление сферороботом построено на базе динамической модели в неголономной постановке при помощи гейтов. Рассмотрено движение сфероробота с постоянными управляющими воздействиями, а также движение при импульсном управлении. Проведен ряд экспериментов, демонстрирующих важность учета трения качения.

В статье рассматривается динамика сфероробота, проводящегося в движение расположенной внутри платформой с омниколесами. Получены уравнения движения сфероробота в рамках неголономной модели и указаны первые интегралы. Найдены частные решения и исследована их устойчивость. Приведен алгоритм управления, реализующий движения сфероробота по произвольной траектории.

В работе рассмотрена задача о движении транспортного средства в виде платформы с закрепленным на ней произвольным количеством меканум-колес. Обсуждается вопрос об управляемости данным транспортным средством в рамках неголономной модели качения. Приведен явный алгоритм вычисления управляющих моментов двигателей, реализующих движение по произвольной траектории. Приведены примеры управлений для совершения простейших маневров.

В статье рассматривается кинематическая модель сфероробота, приводимого в движение расположенной внутри платформой с омниколесами. Представлены особенности управления сферороботом с учетом смещения центра масс внутренней омниколесной платформы. Получены как общие алгоритмы управления сферороботом в рамках кинематической квазистатической модели, так и управления, реализующие простейшие маневры — движение по прямой, движение по окружности. Произведена экспериментальная проверка предложенных алгоритмов.

В статье рассматривается кинематическая модель сфероробота, приводимого в движение расположенной внутри платформой с омниколесами. Представлены описание конструкции, алгоритм планирования траектории по разработанной кинематической модели, проведены экспериментальные исследования для типовых траекторий: движение по прямой и движение по окружности.

В работе исследуется движение точки контакта (абсолютная динамика) в интегрируемой задаче о качении шара Чаплыгина по плоскости. Хотя скорость точки контакта является заданной вектор-функцией от переменных редуцированной системы, применить стандартные методы теории интегрируемых гамильтоновых систем невозможно, вследствие отсутствия подходящего конфромно-гамильтонова представления для нередуцированной системы. Для полного анализа мы применяем как стандартный аналитический подход, восходящий к Болю и Вейлю, так и развиваем топологические методы исследования. С помощью этого, в частности, получены условия ограниченности и неограниченности траекторий точки контакта.

В работе обсуждается феномен топологической монодромии в интегрируемых гамильтоновых и неголономных системах. Предложен эффективный метод для ее вычисления и визуализации. Проведен сравнительный анализ топологической монодромии в задачах о качении эллипсоида вращения по гладкой и шероховатой плоскости. Первая из этих систем является гамильтоновой, вторая — неголономной. Показано, что с точки зрения монодромии никаких отличий между этими системами нет, и тем самым опровергнута гипотеза Кушмана и Дюистермаата о том, что топологическая монодромия дает топологическое препятствие к гамильтонизации задачи о качении эллипсоида вращения по шероховатой плоскости.

В предыдущей статье [2] исследовалось управление при помощи трех гиростатов движением динамически несимметричного уравновешенного шара на плоскости, при условии, что шар катится без проскальзывания в точке контакта. В настоящей работе исследуется вопрос об управляемости шара при наличии сил трения. Также исследуется вопрос о существовании и устойчивости особых бездиссипативных периодических решений свободного шара в присутствии сил трения.

В работе исследуется управление при помощи трех гиростатов движением динамически несимметричного уравновешенного шара на плоскости, при условии, что шар катится без проскальзывания в точке контакта. Показана полная алгебраическая управляемость данной системы, указаны законы управления, обеспечивающие движение вдоль заданной траектории на плоскости и задающие необходимую ориентацию системы; приведены явные законы управления, осуществляющие простейшие движения рассматриваемой системы.

В этой работе мы рассматриваем задачу о движении осесимметричных вихревых колец в идеальной несжимаемой жидкости. Используя топологический подход, мы указываем метод полного качественного анализа динамики в системе двух колец, и, в частности, мы полностью решаем проблему описания условий возникновения чехарды вихревых колец. Кроме того, в задаче двух вихревых колец найдены новые семейства движений, при которых взаимные расстояния остаются конечны, названные нами псевдочехардой. В задаче трех вихревых колец также найдены решения, описывающие как регулярную, так и хаотическую чехарду колец.

В работе рассматривается динамика тележки с омниколесами на плоскости и сфере в модельной неголономной постановке. Приведен элементарный вывод уравнений, исследуется динамика свободной системы, указана связь с проблемами управления.

В работе исследованы две задачи из неголономной механики, связанные с качением шаров. Одна из них — классическая задача С.А. Чаплыгина о качении без проскальзывания уравновешенного динамически несимметричного шара по горизонтальной плоскости. Другая — предложенная Ю.Н.Фёдоровым новая задача о движении твердого тела в шаровом подвесе. Для первой задачи мы подробно рассматриваем нетривиальное преобразование, примененное Чаплыгиным к интегрированию системы при ненулевой константе площадей и проясняем его геометрический смысл (у Чаплыгина это преобразование представлено довольно сложными, неочевидными аналитическими выкладками). Оказывается, что при понимании его геометрии преобразование Чаплыгина может быть обобщено на задачу о движении тела в шаровом подвесе, для которой с момента ее постановки в 1988 г. не было предложено никаких успешных подходов к методике явного интегрирования. В нашей работе показано, что с помощью обобщения преобразования Чаплыгина эта новая задача сводится к классической системе Чаплыгина. Выполненное нами обобщение позволяет не только явно проинтегрировать уравнения движения шарового подвеса в квадратурах, но и исследовать особо замечательные критические траектории и их устойчивость, выполнить качественный анализ движения задачи. Вполне возможно, что указанные решения могут иметь приложения в различных технических устройствах и при конструировании робототехнических мобильных средств. Кроме того, мы рассматриваем случай, когда к системе с шаровым подвесом добавлен постоянный гиростатический момент. Показано, что добавление гиростата не приводит к потере интегрируемости задачи.

В работе исследуется новая задача о взаимном обкате тел со сферическими поверхностями, обобщающая известную задачу Чаплыгина о качении шара по плоскости. В отличие от ранее исследуемых неголономных систем рассматриваемая система имеет бóльшую размерность и значительно сложнее для анализа. Замечательной особенностью указанной системы является существование скрытых первых интегралов движения линейных по моментам, аналоги которых были обнаружены ранее Чаплыгиным в более простой интегрируемой системе. В работе найдены частные интегрируемые случаи исследуемой системы.

В данной работе предложена новая модель неголономного бильярда, учитывающая собственное вращение шара. Данная модель получена с помощью предельного перехода от задачи о качении шара без проскальзывания по поверхности второго порядка. Проведено качественное исследование динамики неголономного бильярда между двумя параллельных стенок и внутри круга. С помощью построения трехмерного точечного отображения показана неинтегрируемость неголономного бильярда внутри эллипса.

В работе рассмотрены вопросы о гамильтонизации и интегрируемости неголономной задачи Суслова и ее обобщения, предложенного Чаплыгиным. Вопросы важны для понимания качественных особенностей динамики этой системы и, в частности, связаны с нетривиальным асимптотическим поведением (то есть некоторой задачей рассеяния). Статья развивает общий подход авторов, основанный на изучении иерархии динамического поведения неголономных систем.

В работе показана суперинтегрируемость системы, описывающей движение материальной точки в поле нечетного числа одинаковых гуковских центров, расположенных на экваторе сферы. Гипотеза о суперинтегрируемости этой системы была высказана нами в [3], где также была первоначально указана общая структура суперинтеграла, имеющего сколь угодно высокую нечетную степень по импульсам. Указан изоморфизм этой системы с рассмотренной недавно в [13] задачей о взаимодействии N частиц на прямой, на которую также можно перенести указанный суперинтеграл.

В данной работе рассматриваются системы материальных точек в евклидовом пространстве, взаимодействующих как друг с другом, так и с внешним полем. Для случая произвольного парного взаимодействия между телами, зависящего только от их взаимного расстояния, указаны новые интегралы, образующие вектор галилеева момента. Приведена соответствующая алгебра интегралов, которую образуют интегралы импульса, момента импульса и галилеева момента.

Рассмотрены системы частиц, взаимодействие между которыми описывается однородным потенциалом степени однородности $α=-2$. Для этих систем приведена наиболее общая форма дополнительного первого интеграла движения, называемого нами интегралом Якоби. Указана новая нелинейная алгебра интегралов, включающая интеграл Якоби. Систематически описана новая процедура редукции и возможность ее применения в динамике для понижения порядка гамильтоновых систем.

В статье также приводится ряд новых интегрируемых и суперинтегрируемых систем, являющихся обобщением классических. Приведен ряд обобщений тождества Лагранжа для систем с однородным потенциалом степени однородности $α=-2$, а также с помощью компьютерных экспериментов доказана неинтегрируемость задачи Якоби на плоскости.

В данной работе рассмотрена система трех частиц на плоскости взаимодействие между которыми описывается однородным потенциалом степени однородности $α=-2$. Приведена конструктивная процедура редукции этой системы до двух степеней свободы. С помощью построения отображения Пуанкаре показана неинтегрируемость полученной системы.

Работа посвящена вопросам динамики жидких и газовых самогравитирующих эллипсоидов. Приводятся обзор литературы и оригинальные результаты авторов в этой области, полученные с помощью современных методов нелинейной динамики. Дается четкая лагранжева и гамильтонова формулировка уравнений движения, в частности описан гамильтонов формализм на алгебрах Ли. Формулируются и исследуются задачи, связанные с неинтегрируемостью и хаосом. Мы классифицируем все известные интегрируемые случаи, а также приводим наиболее естественные гипотезы относительно неинтегрируемости уравнений движения в общем случае. Приводятся результаты численного моделирования, которые, с одной стороны, показывают хаотическое поведение системы, а с другой стороны во многих ситуациях могут служить численным компьютерным доказательством неинтегрируемости (метод трансверсально пересекающихся сепаратрис).

Рассмотрена динамика антиподального вихря, представляющего собой систему вихрь+антипод на сфере, имеющих равные по величине, но противоположные по знаку интенсивности. Показано, что система n антиподальных вихрей допускает редукцию на две степени свободы. Рассмотрены случаи двух и трех антиподальных вихрей, проведен их численный анализ. Обсуждаются томсоновские, коллинеарные и равнобедренные конфигурации антиподальных вихрей, построены бифуркационные диаграммы для этих случаев.

В работе указан новый интеграл в задаче о движении динамически симметричного шара по поверхности параболоида в поле тяжести. С помощью этого интеграла получены условия устойчивости по Ляпунову стационарных вращений шара вокруг вертикали при условии, что точка контакта расположена в наивысшей, наинизшей или седловой точке параболоида.

В работе найден новый интеграл в задаче о качении тяжелого симметричного шара по поверхности параболоида. Этот интеграл используется в работе для исследования устойчивости по Ляпунову простейших стационарных вращений.

В работе исследован процесс хаотизации фазового портрета в ограниченной задаче о вращении тяжелого твердого тела с закрепленной точкой. Указаны два дополняющих друг друга механизма хаотизации — рост гомоклинической структуры и развитие каскадов бифуркаций удвоения периода. Отмечено адиабатическое поведение системы на нулевом уровне интеграла площадей при стремлении энергии к нулю. Найдены меандровые торы, связанные с нарушением свойства закручивания рассматриваемого отображения.

В работе рассмотрены новый метод конструктивного понижения порядка для систем точечных вихрей на плоскости и сфере. Этот метод близок к классической процедуре исключения узла по Якоби в небесной механике. Однако, в случае динамики вихрей возникают некоторые особые ситуации, требующие отдельного рассмотрения. Более подробно рассмотрена задача приведения четырех точечных вихрей на плоскости и сфере. С помощью сечения Пуанкаре проведен анализ регулярного и хаотического поведения системы четырех вихрей на плоскости и сфере.

В работе найдено семейство периодических в абсолютном пространстве решений в классической задаче о движении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой на нулевой константе площадей. Данное семейство включает в себя известные решения Делоне (для случая Ковалевской), частные решения для случая Горячева-Чаплыгина, а также решения Стеклова. Приведена генеалогия найденных решений при продолжении по энергии и их связь с вращениями Штауде.

Показано, что при ненулевом значении интеграла площадей соответствующие решения являются периодическими в равномерно вращающейся вокруг вертикали системе координат.