Выберите язык: Ru / En
0
2013
Impact Factor

    Борисов Алексей Владимирович

    Alexey Borisov
    426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1
    borisov@rcd.ru
    Ижевский институт компьютерных исследований, Россия

    Родился 27 марта 1965 г. в Москве

    Образование:

    В 1989 г. закончил Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана .

    1995 г.: диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук (тема диссертации «Неинтегрируемость уравнений Кирхгофа и родственных задач динамики твердого тела»), защищена на механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова.

    2001 г.: диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук (тема диссертации «Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике»), защищена на механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова.

    Должности:

    1996 — 2001 гг.: заведующий Лабораторией динамического хаоса и нелинейности Удмуртского государственного университета, г. Ижевск.

    С 1998г.: директор Научно-издательского центра «Регулярная и хаотическая динамика».

    С 2002 г.: заведующий Лабораторией нелинейной динамики Института машиноведения им. А.А. Благонравова РАН , г. Москва.

    С 2002 г.: директор Института компьютерных исследований , г. Ижевск.

    С 2003 г.: заведующий Отделом математических методов нелинейной динамики Института математики и механики Уральского отделения РАН , г. Екатеринбург.

    С 2010 г.: проректор по информационным и компьютерным технологиям УдГУ.

    Одновременно: заместитель заведующего лаборатории «Нелинейного анализа и конструирования новых средств передвижения» , созданной в рамках гранта Правительства РФ для господдержки научных исследований под руководством ведущих ученых в российских образовательных учреждениях высшего профессионального образования № 11.G34.31.0039.

    Членство в академиях и обществах, научные премии:

    Член Российского национального комитета по теоретической и прикладной механике (2001 г.)

    Член-корреспондент Российской академии естественных наук (2006 г.)

    В 2012 году за серию монографий, посвященных интегрируемым системам гамильтоновой механики А.В. Борисову и И.С. Мамаеву была присуждена премия им. С.В. Ковалевской.

    Руководство текущими грантами и международными проектами:

    Российско-французский исследовательский проект «Formes et Mecanique Celeste» (Формы в небесной механике) при совместной поддержке РФФИ и Национального центра научных исследований Франции (с 2010 г.)

    Российско-американский исследовательский проект «N-vortex problem in applications to atmospheric events» (Задача $N$ вихрей в приложении к атмосферным явлениям) при поддержке фондов РФФИ и CRDF (с 2009 г.)

    Соорганизатор регулярных конференций «Geometry, Dynamics, Integrable Systems», проводимых Математическим институтом Сербской академии наук и искусств в сотрудничестве с УдГУ.

    Входит в организационный комитет международной конференции Third International Conference «Geometry, Dynamics, Integrable Systems — GDIS 2011», 10-16 сентября 2011 г., Lisbon — Sintra.

    Председатель организационного комитета международного симпозиума под эгидой IUTAM Symposium «From Mechanical to Biological Systems — an Integrated Approach», 5-9 июня 2012 г., Ижевск, УдГУ.

    Основатель и главный редактор Международного научного журнала «Regular and Chaotic Dynamics», главный редактор журнала «Нелинейная динамика».

    Имеет 8 учеников, защитивших диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Трое из них, И.С. Мамаев , А.А. Килин и С.М. Рамоданов, защитили докторские диссертации.

    Публикации:

    Бизяев И. А., Борисов А. В., Мамаев И. С.
    Подробнее
    В работе рассмотрен случай Гесса в уравнениях Эйлера–Пуассона, а также его обобщение на пучке скобок Пуассона. Показано, что в этом случае задача сводится к исследованию векторного поля на торе. При этом график зависимости числа вращения от параметров имеет горизонтальные участки (предельные циклы) только при целых значениях числа вращения. Кроме того, указан пример гамильтоновой системы, которая обладает инвариантным подмногообразием (аналогичным случаю Гесса), но на котором зависимость числа вращения от параметров представляет собой канторову лестницу.
    Ключевые слова: инвариантное подмногообразие, число вращения, канторова лестница, предельные циклы
    Цитирование: Бизяев И. А., Борисов А. В., Мамаев И. С.,  Случай Гесса–Аппельрота и квантование числа вращения, Нелинейная динамика, 2017, т. 13, № 3, с. 433-452
    DOI:10.20537/nd1703010
    Борисов А. В., Казаков А. О., Пивоварова Е. Н.
    Подробнее
    В работе исследуется качение динамически несимметричного неуравновешенного шара (волчка Чаплыгина) в поле тяжести по плоскости в предположении отсутствия проскальзывания и прокручивания в точке контакта. Приводится описание странных аттракторов, существующих в системе, а также подробно описывается сценарий рождения одного из них через последовательность бифуркаций удвоения периода. Кроме того, проанализирована динамика системы в абсолютном пространстве и показано, что поведение точки контакта при наличии в системе странных аттракторов существенно зависит от характеристик аттрактора и может иметь как хаотический, так и близкий к квазипериодическому характер.
    Ключевые слова: волчок Чаплыгина, неголономная связь, «резиновая» модель, странный аттрактор, бифуркация, траектория точки контакта
    Цитирование: Борисов А. В., Казаков А. О., Пивоварова Е. Н.,  Регулярная и хаотическая динамика в «резиновой» модели волчка Чаплыгина, Нелинейная динамика, 2017, т. 13, № 2, с. 277-297
    DOI:10.20537/nd1702009
    Бизяев И. А., Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С.
    Подробнее
    В данной работе рассмотрены две системы из субримановой геометрии. Первая система определена группой Карно с тремя образующими и вектором роста (3, 6, 14), вторая, соответственно, определена двумя образующими и вектором роста (2, 3, 5, 8). С помощью отображения Пуанкаре показана неинтегрируемость указанных систем в общем случае. Кроме того, указаны частные случаи, в которых существуют дополнительные первые интегралы.
    Ключевые слова: субриманова геометрия, группа Карно, отображение Пуанкаре, первые интегралы
    Цитирование: Бизяев И. А., Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С.,  Интегрируемость и неинтегрируемость субримановых геодезических потоков на группах Карно, Нелинейная динамика, 2017, т. 13, № 1, с. 129-146
    DOI:10.20537/nd1701009
    Бизяев И. А., Борисов А. В., Мамаев И. С.
    Подробнее
    В данной работе рассмотрено движение саней Чаплыгина по поверхности кругового цилиндра. В случае движения по инерции задача сводится к изучению динамической системы на (двумерном) торе и классификации особых точек. Указаны частные случаи, в которых система обладает инвариантной мерой. При движений уравновешенных и динамически симметричных саней Чаплыгина в поле тяжести показано, что в среднем система не имеет дрейфа по вертикали.
    Ключевые слова: сани Чаплыгина, инвариантная мера, неголономная механика
    Цитирование: Бизяев И. А., Борисов А. В., Мамаев И. С.,  Динамика саней Чаплыгина на цилиндре, Нелинейная динамика, 2016, т. 12, № 4, с. 675–687
    DOI:10.20537/nd1604010
    Борисов А. В., Мамаев И. С., Бизяев И. А.
    Подробнее
    В данном историческом обзоре подробно описаны основные этапы развития неголономной механики начиная с работ Ирншоу, Феррерса и заканчивая монографией Ю.И. Неймарка и Н.А. Фуфаева. В приложении к данному обзору обсуждаются принцип Даламбера–Лагранжа в неголономной механике и перестановочные соотношения.
    Ключевые слова: неголономная механика, неголономная связь, принцип Даламбера–Лагранжа, перестановочные соотношения
    Цитирование: Борисов А. В., Мамаев И. С., Бизяев И. А.,  Историко-критический обзор развития неголономной механики: классический период, Нелинейная динамика, 2016, т. 12, № 3, с. 385-411
    DOI:10.20537/nd1603007
    Бизяев И. А., Борисов А. В., Казаков А. О.
    Подробнее
    В работе приведены некоторые результаты исследования хаотической динамики в задаче Суслова, описывающей движение тяжелого твердого тела с неподвижной точкой, подчиненного неголономной связи $(\boldsymbol\omega,\boldsymbol e)=0$, где $\boldsymbol\omega$ — угловая скорость тела, $\boldsymbol e$ — единичный вектор, неподвижный в теле. В зависимости от параметров системы указаны случаи регулярного (в частности, интегрируемого) поведения, а также обнаружены различные притягивающие множества (в том числе странные аттракторы), типичные для диссипативных систем. В задаче указаны области фазового пространства, в которых консервативная и диссипативная динамика сосуществуют на достаточно мелких масштабах. Подробно исследован эффект реверса, ранее наблюдавшийся в движении кельтских камней.
    Ключевые слова: задача Суслова, неголономная связь, реверс, странный аттрактор
    Цитирование: Бизяев И. А., Борисов А. В., Казаков А. О.,  Динамика задачи Суслова в поле тяжести: реверс и странные аттракторы, Нелинейная динамика, 2016, т. 12, № 2, с. 263-287
    DOI:10.20537/nd1602008
    Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С.
    Подробнее
    В данной работе развиваются результаты Адамара и Гамеля о возможности подстановки неголономных связей в лагранжиан системы без изменения вида уравнений движения. Формулируются условия корректности такой подстановки для частного случая неголономных систем в наиболее простом и универсальном виде. Данные условия приводятся в терминах как обобщенных скоростей, так и квазискоростей. Также в работе обсуждается вывод и редукция уравнений движения произвольного колесного экипажа. В частности, доказана эквивалентность (с точностью до дополнительных квадратур) задач о произвольном колесном экипаже и аналогичном экипаже, у которого колеса заменены на коньки. В качестве примеров разобраны задачи об одноколеснике и о колесном экипаже с двумя вращающимися колесными парами.
    Ключевые слова: неголономная связь, колесный экипаж, редукция, уравнения движения, лагранжев формализм
    Цитирование: Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С.,  О проблеме Адамара–Гамеля и динамике колесных экипажей, Нелинейная динамика, 2016, т. 12, № 1, с. 145-163
    DOI:10.20537/nd1601009
    Бизяев И. А., Болсинов А. В., Борисов А. В., Мамаев И. С.
    Подробнее
    В работе развиваются топологические методы для качественного анализа поведения неголономных динамических систем. Их применение иллюстрируется на примере новой интегрируемой задачи неголономной механики, названной неголономным шарниром. Хотя эта система является неголономной, она может быть представлена в гамильтоновой форме со скобкой Ли–Пуассона ранга 2. При помощи указанной скобки Ли – Пуассона в работе выполнен анализ устойчивости неподвижных точек. Кроме того, указаны все возможные типы интегральных многообразий и выполнена классификация траекторий на них.
    Ключевые слова: неголономный шарнир, топология, бифуркационная диаграмма, тензорные инварианты, скобка Пуассона, устойчивость
    Цитирование: Бизяев И. А., Болсинов А. В., Борисов А. В., Мамаев И. С.,  Топология и бифуркации в неголономной механике, Нелинейная динамика, 2015, т. 11, № 4, с. 735–762
    DOI:10.20537/nd1504008
    Борисов А. В., Мамаев И. С.
    Подробнее
    Данная работа представляет собой обзор проблемы конструктивной редукции неголономных систем с симметрией. Указана связь редукции с наличием простейших тензорных инвариантов — первых интегралов и полей симметрий. Все теоретические конструкции иллюстрируются примерами, встречающимися в приложениях. Кроме того, в работе содержится краткий историко-критический очерк, освещающий вклад разных исследователей в эту проблему.
    Ключевые слова: редукция, симметрия, тензорный инвариант, первый интеграл, группа симметрий, поле симметрий, неголономная связь, теорема Нётер
    Цитирование: Борисов А. В., Мамаев И. С.,  Симметрии и редукция в неголономной механике, Нелинейная динамика, 2015, т. 11, № 4, с. 763–823
    DOI:10.20537/nd1504009
    Борисов А. В., Караваев Ю. Л., Мамаев И. С., Ердакова Н. Н., Иванова T. Б., Tарасов В. В.
    Подробнее
    В данной работе мы экспериментально исследуем динамику тела с плоским основанием (цилиндра), скользящего по горизонтальной шероховатой плоскости. Для анализа используется два подхода. В первом случае, используя машину трения, определяем зависимость силы трения от скорости движения цилиндров. Во втором случае, используя цифровую скоростную камеру для видеосъемки и метод представления траекторий на фазовой плоскости для обработки результатов, исследуем качественные и количественные характеристики движения цилиндров по горизонтальной плоскости. Полученные результаты сравниваем с ранее известными теоретическими и экспериментальными данными. Кроме того, в работе приводится подробный систематический обзор известных теоретических и экспериментальных результатов в этой области.
    Ключевые слова: сухое трение, линейное распределение давления, плоское движение, закон Кулона
    Цитирование: Борисов А. В., Караваев Ю. Л., Мамаев И. С., Ердакова Н. Н., Иванова T. Б., Tарасов В. В.,  Экспериментальное исследование движения тела с осесимметричным основанием, скользящего по шероховатой плоскости, Нелинейная динамика, 2015, т. 11, № 3, с. 547-577
    DOI:10.20537/nd1503006
    Борисов А. В., Мамаев И. С., Бизяев И. А.
    Подробнее
    В работе обсуждаются условия существования интеграла Якоби (обобщающего энергию) в системах с неоднородными и неголономными связями. В качестве примера подробно рассмотрена задача о движении саней Чаплыгина на вращающейся плоскости и движение динамически симметричного шара на равномерно вращающейся поверхности. Кроме того, обсуждаются наглядные механические демонстрации, основанные на движении однородного шара на вращающемся столе и на поверхности Бельтрами.
    Ключевые слова: неголономная связь, интеграл Якоби, сани Чаплыгина, вращающийся стол, задача Суслова
    Цитирование: Борисов А. В., Мамаев И. С., Бизяев И. А.,  Интеграл Якоби в неголономной механике, Нелинейная динамика, 2015, т. 11, № 2, с. 377-396
    DOI:10.20537/nd1502011
    Борисов А. В., Ердакова Н. Н., Иванова T. Б., Мамаев И. С.
    Подробнее
    В данной работе мы исследуем динамику тела с плоским основанием, скользящего по наклонной шероховатой плоскости в предположении линейного распределения давления тела на опору как простейшей динамически согласованной модели трения. Компьютерный анализ динамики системы на наклонной плоскости с использованием фазовых портретов позволил выявить не указанные ранее динамические эффекты.
    Ключевые слова: сухое трение, линейное распределение давления, плоское движение, закон Кулона
    Цитирование: Борисов А. В., Ердакова Н. Н., Иванова T. Б., Мамаев И. С.,  Динамика тела с осесимметричным основанием на наклонной плоскости, Нелинейная динамика, 2014, т. 10, № 4, с. 483-495
    DOI:10.20537/nd1404008
    Бизяев И. А., Борисов А. В., Мамаев И. С.
    Динамика трех вихреисточников
    2014, том 10, № 3, с.  319-327
    Подробнее
    В данной работе показана интегрируемость уравнений системы трех вихреисточников. Получена редуцированная система, описывающая эволюцию конфигураций системы с точностью до подобия. Приведены возможные фазовые портреты и различные относительные равновесия системы.
    Ключевые слова: интегрируемость, вихреисточники, форм-сфера, редукция, гомотетические конфигурации
    Цитирование: Бизяев И. А., Борисов А. В., Мамаев И. С.,  Динамика трех вихреисточников, Нелинейная динамика, 2014, т. 10, № 3, с. 319-327
    DOI:10.20537/nd1403006
    Борисов А. В., Мамаев И. С.
    Подробнее
    В работе обсуждаются новые нерешенные задачи неголономной механики. Высказаны гипотезы о возможности гамильтонизации и существовании инвариантной меры для таких систем.
    Ключевые слова: неголономная механика, тензорный инвариант, инвариантная мера, пуассонова структура
    Цитирование: Борисов А. В., Мамаев И. С.,  Инвариантная мера и гамильтонизация неголономных систем, Нелинейная динамика, 2014, т. 10, № 3, с. 355-359
    DOI:10.20537/nd1403009
    Борисов А. В., Казаков А. О., Сатаев И. Р.
    Подробнее
    В работе рассматривается движение неоднородного шара по плоскости под действием силы тяжести. В точке контакта шара с плоскостью наложена неголономная связь, запрещающая проскальзывание. Движения шара описываются обратимой неголономной системой, состоящей из шести дифференциальных уравнений. В случае произвольного смещения центра масс шара рассматриваемая система является неинтегрируемой системой без инвариантной меры. С помощью аналитических и численных методов показано, что при некоторых значениях параметров неуравновешенный шар демонстрирует эффект реверса (изменение направления вращения шара на противоположное). Кроме того, с помощью построения карт динамических режимов, в системе удалось обнаружить восьмерочный аттрактор, относящийся к настоящим странным аттракторам псевдогиперболического типа.
    Ключевые слова: волчок Чаплыгина, качение без проскальзывания, обратимость, инволюция, интегрируемость, реверс, карта динамических режимов, странный аттрактор
    Цитирование: Борисов А. В., Казаков А. О., Сатаев И. Р.,  Регулярные и хаотические аттракторы в неголономной модели волчка Чаплыгина, Нелинейная динамика, 2014, т. 10, № 3, с. 361-380
    DOI:10.20537/nd1403010
    Бизяев И. А., Борисов А. В., Мамаев И. С.
    Подробнее
    Работа посвящена исследованию фигур равновесия самогравитирующей идеальной жидкости со стратификацией плотности и стационарным полем скоростей. При этом, как и в классической постановке, предполагается, что фигура или ее слои равномерно вращаются вокруг неподвижной оси, фиксированной в пространстве. При отсутствии вращения фигурой равновесия, как известно, является только шар.

    Показано, что эллипсоид вращения (сфероид) с конфокальной стратификацией, в которой каждый слой вращается с собственной постоянной угловой скоростью, будет находиться в равновесии. Получены выражения для гравитационного потенциала, изменения угловой скорости и давления, из которых сделан вывод, что угловая скорость на внешней поверхности совпадает со значением угловой скорости сфероида Маклорена. Отметим, что найденное решение обобщает ранее известное для кусочно-постоянного распределения плотности. Для сравнения приведено также решение для гомотетической стратификации плотности, полученное ранее Чаплыгиным.

    В заключение рассмотрен однородный сфероид в пространстве постоянной положительной кривизны. Показано, что в этом случае сфероид не может вращаться как твердое тело, так как распределение угловой скорости частиц жидкости зависит от расстояния до оси симметрии.
    Ключевые слова: самогравитирующая жидкость, конфокальная стратификация, гомотетическая стратификация, пространство постоянной кривизны
    Цитирование: Бизяев И. А., Борисов А. В., Мамаев И. С.,  Фигуры равновесия неоднородной самогравитирующей жидкости, Нелинейная динамика, 2014, т. 10, № 1, с. 73-100
    DOI:10.20537/nd1401006
    Болсинов А. В., Борисов А. В., Мамаев И. С.
    Подробнее
    В работе развивается теория приводящего множителя для специального класса неголономных динамических систем, когда возникающая нелинейная пуассонова структура приводится к скобке Ли–Пуассона алгебры $e(3)$. В качестве примеров рассмотрены задача о качении шара Чаплыгина и система Веселовой, кроме того получено интегрируемое гиростатическое обобщение системы Веселовой.
    Ключевые слова: неголономная динамическая система, скобка Пуассона, пуассонова структура, приводящий множитель, гамильтонизация, конформно-гамильтонова система, шар Чаплыгина
    Цитирование: Болсинов А. В., Борисов А. В., Мамаев И. С.,  Геометризация теоремы Чаплыгина о приводящем множителе, Нелинейная динамика, 2013, т. 9, № 4, с. 627-640
    DOI:10.20537/nd1304002
    Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С.
    Подробнее
    В работе исследуется движение точки контакта (абсолютная динамика) в интегрируемой задаче о качении шара Чаплыгина по плоскости. Хотя скорость точки контакта является заданной вектор-функцией от переменных редуцированной системы, применить стандартные методы теории интегрируемых гамильтоновых систем невозможно, вследствие отсутствия подходящего конфромно-гамильтонова представления для нередуцированной системы. Для полного анализа мы применяем как стандартный аналитический подход, восходящий к Болю и Вейлю, так и развиваем топологические методы исследования. С помощью этого, в частности, получены условия ограниченности и неограниченности траекторий точки контакта.
    Ключевые слова: неголономная связь, абсолютная динамика, бифуркационная диаграмма, бифуркационный комплекс, дрейф, резонанс, инвариантный тор
    Цитирование: Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С.,  Проблема дрейфа и возвращаемости при качении шара Чаплыгина, Нелинейная динамика, 2013, т. 9, № 4, с. 721-754
    DOI:10.20537/nd1304009
    Борисов А. В., Мамаев И. С., Караваев Ю. Л.
    Об отрыве диска Эйлера
    2013, том 9, № 3, с.  499-506
    Подробнее
    Данная работа посвящена экспериментальному исследованию катящегося круглого однородного диска по горизонтальной поверхности. Предложены два способа экспериментального определения отрыва катящегося диска от горизонтальной поверхности перед его остановкой. Представлены результаты экспериментов для дисков различной массы и изготовленных из различных материалов. Обсуждаются причины обнаруженных в процессе движения диска «микроотрывов».
    Ключевые слова: диск Эйлера, потеря контакта, эксперимент
    Цитирование: Борисов А. В., Мамаев И. С., Караваев Ю. Л.,  Об отрыве диска Эйлера, Нелинейная динамика, 2013, т. 9, № 3, с. 499-506
    DOI:10.20537/nd1303007
    Бизяев И. А., Борисов А. В., Мамаев И. С.
    Подробнее
    В работе исследованы две системы, состоящие из сферической оболочки, катящейся по плоскости без проскальзывания, и подвижного твердого тела, закрепленного внутри оболочки при помощи двух различных механизмов. В первом случае твердое тело закреплено в центре шара на сферическом шарнире. Указан изоморфизм уравнений движения внутреннего тела с движением шара по гладкой плоскости. Во втором случае твердое тело закреплено с помощью неголономного шарнира. Получены уравнения движения для этой системы и указаны новые интегрируемые случаи. Особенность набора тензорных инвариантов данной системы заключается в том, что он приводит к новому в неголономной механике механизму интегрирования — теореме Эйлера–Якоби–Ли.

    Кроме того, рассмотрена задача о свободном движении связки двух тел, соединенных неголономным шарниром. Для этой системы найдены интегрируемые случаи, а также различные тензорные инварианты.
    Ключевые слова: неголономная связь, тензорные инварианты, изоморфизм, неголономный шарнир
    Цитирование: Бизяев И. А., Борисов А. В., Мамаев И. С.,  Динамика неголономных систем, состоящих из сферической оболочки с подвижным твердым телом внутри, Нелинейная динамика, 2013, т. 9, № 3, с. 547-566
    DOI:10.20537/nd1303010
    Борисов А. В., Мамаев И. С., Бизяев И. А.
    Подробнее
    В работе исследуется динамика систем, описывающих качение без проскальзывания и верчения (rubber-rolling) различных твердых тел по плоской и сферической поверхности. Показано, что в зависимости от геометрии поверхности тела и его распределения масс возникает иерархия возможных типов динамического поведения. Найдены новые интегрируемые случаи и случаи существования инвариантной меры. Кроме того, на примере этих систем продемонстрировано, что существование нескольких нетривиальных инволюций в обратимых диссипативных системах приводит к почти гамильтонову поведению.
    Ключевые слова: неголономная связь, тензорные инварианты, первый интеграл, инвариантная мера, интегрируемость, конформно-гамильтонова система, резиновое качение, обратимость, инволюция
    Цитирование: Борисов А. В., Мамаев И. С., Бизяев И. А.,  Иерархия динамики при качении твердого тела без проскальзывания и верчения по плоскости и сфере, Нелинейная динамика, 2013, т. 9, № 2, с. 141-202
    DOI:10.20537/nd1302001
    Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С.
    Подробнее
    В предыдущей статье [2] исследовалось управление при помощи трех гиростатов движением динамически несимметричного уравновешенного шара на плоскости, при условии, что шар катится без проскальзывания в точке контакта. В настоящей работе исследуется вопрос об управляемости шара при наличии сил трения. Также исследуется вопрос о существовании и устойчивости особых бездиссипативных периодических решений свободного шара в присутствии сил трения.
    Ключевые слова: неголономная связь, управление, сухое трение, вязкое трение, устойчивость, периодические решения
    Цитирование: Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С.,  Как управлять шаром Чаплыгина при помощи роторов. II, Нелинейная динамика, 2013, т. 9, № 1, с. 59-76
    DOI:10.20537/nd1301006
    Борисов А. В., Мамаев И. С.
    Подробнее
    Рассматривается новая интегрируемая система, описывающая качение твердого тела со сферической полостью по шаровому основанию. Ранее авторами для данной системы было найдено разделение переменных на нулевом уровне линейного (по угловой скорости) первого интеграла, в то время как в общем случае разделить переменные не удается. В данной работе показано, что слоение на инвариантные торы в этой задаче эквивалентно соответствующему слоению в интегрируемой системе Клебша в динамике твердого тела (для которой также не найдено вещественное разделение переменных). В частности, для данной системы возможна неподвижная точка типа фокус, что может служить топологическим препятствием для вещественного разделения переменных.
    Ключевые слова: интегрируемая система, бифуркационная диаграмма, конформно-гамильтонова система, бифуркация, слоение Лиувилля, критическое периодическое решение
    Цитирование: Борисов А. В., Мамаев И. С.,  Топологический анализ одной интегрируемой системы, связанной с качением шара по сфере, Нелинейная динамика, 2012, т. 8, № 5, с. 957-975
    DOI:10.20537/nd1205007
    Борисов А. В., Мамаев И. С., Tрещев Д. В.
    Подробнее
    В данной работе исследуются различные кинематические свойства качения одного твердого тела по другому как для классической модели качения без проскальзывания (скорости тел в точке контакта совпадают), так и для модели rubber-качения (дополнительно исключается прокручивание тел относительно друг друга). Кроме того, в случае когда оба тела ограничены сферическими поверхностями и одно из них неподвижно, уравнения движения подвижного шара представлены в форме системы Чаплыгина. Если при этом центр масс подвижного шара совпадает с его геометрическим центром, уравнения движения представлены в конформно-гамильтоновой форме, а в случае когда радиусы подвижной и неподвижной сфер совпадают — в гамильтоновой.
    Ключевые слова: качение без проскальзывания, неголономная связь, система Чаплыгина, конформно-гамильтонова система
    Цитирование: Борисов А. В., Мамаев И. С., Tрещев Д. В.,  Качение твердого тела без проскальзывания и верчения: кинематика и динамика, Нелинейная динамика, 2012, т. 8, № 4, с. 783-797
    DOI:10.20537/nd1204008
    Болсинов А. В., Борисов А. В., Мамаев И. С.
    Подробнее
    В работе исследуется модельная задача о качении без проскальзывания неоднородного шара со смещенным центром по плоскости. Показано, что в данном случае приведенная шестимерная система обладает четырьмя первыми интегралами и ее фазовое пространство расслаивается на двумерны инвариантные торы, причем это слоение эквивалентно лиувиллеву слоению в случае Эйлера в динамике твердого тела. Тем не менее интегрируемость в квадратурах невозможна, так как система не допускает инвариантной меры, что доказано с помощью явного нахождения предельных циклов.
    Ключевые слова: неголономная связь, лиувиллево слоение, инвариантный тор, инвариантная мера, интегрируемость
    Цитирование: Болсинов А. В., Борисов А. В., Мамаев И. С.,  Качение без верчения шара по плоскости: отсутствие инвариантной меры в системе с полным набором интегралов, Нелинейная динамика, 2012, т. 8, № 3, с. 605-616
    DOI:10.20537/nd1203013
    Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С.
    Подробнее
    В работе исследуется управление при помощи трех гиростатов движением динамически несимметричного уравновешенного шара на плоскости, при условии, что шар катится без проскальзывания в точке контакта. Показана полная алгебраическая управляемость данной системы, указаны законы управления, обеспечивающие движение вдоль заданной траектории на плоскости и задающие необходимую ориентацию системы; приведены явные законы управления, осуществляющие простейшие движения рассматриваемой системы.
    Ключевые слова: неголономная связь, неголономное распределение, управление, теорема Рашевского–Чжоу, дрейф
    Цитирование: Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С.,  Как управлять шаром Чаплыгина при помощи роторов, Нелинейная динамика, 2012, т. 8, № 2, с. 289-307
    DOI:10.20537/nd1202006
    Борисов А. В., Мамаев И. С.
    Подробнее
    В работе рассмотрена задача о качении по абсолютно шероховатой плоскости шара с эллипсоидальной полостью, заполненной идеальной жидкостью, которая совершает однородное вихревое движение. Указан случай существования инвариантной меры и показано, что при условии осевой симметрии имеется частный случай интегрируемости.
    Ключевые слова: вихревое движение, неголономная связь, шар Чаплыгина, инвариантная мера, интегрируемость, твердое тело, идеальная жидкость
    Цитирование: Борисов А. В., Мамаев И. С.,  Динамика шара Чаплыгина с полостью, заполненной жидкостью, Нелинейная динамика, 2012, т. 8, № 1, с. 103-111
    DOI:10.20537/nd1201007
    Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С.
    Подробнее
    В этой работе мы рассматриваем задачу о движении осесимметричных вихревых колец в идеальной несжимаемой жидкости. Используя топологический подход, мы указываем метод полного качественного анализа динамики в системе двух колец, и, в частности, мы полностью решаем проблему описания условий возникновения чехарды вихревых колец. Кроме того, в задаче двух вихревых колец найдены новые семейства движений, при которых взаимные расстояния остаются конечны, названные нами псевдочехардой. В задаче трех вихревых колец также найдены решения, описывающие как регулярную, так и хаотическую чехарду колец.
    Ключевые слова: идеальная жидкость, вихревое кольцо, чехарда вихревых колец, бифуркационный комплекс, периодическое решение, интегрируемость, хаотическая динамика
    Цитирование: Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С.,  Динамика вихревых колец: чехарда, хореографии и проблема устойчивости, Нелинейная динамика, 2012, т. 8, № 1, с. 113-147
    DOI:10.20537/nd1201008
    Гринченко В. T., Краснопольская T. С., Борисов А. В., ван Хейст Г. Ф.
    Подробнее
    Цитирование: Гринченко В. T., Краснопольская T. С., Борисов А. В., ван Хейст Г. Ф.,  Мелешко Вячеслав Владимирович (07.10.1951–14.11.2011), Нелинейная динамика, 2012, т. 8, № 1, с. 179-182
    DOI:10.20537/nd1201014
    Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С.
    Подробнее
    В работе рассматривается динамика тележки с омниколесами на плоскости и сфере в модельной неголономной постановке. Приведен элементарный вывод уравнений, исследуется динамика свободной системы, указана связь с проблемами управления.
    Ключевые слова: омниколесо, роликонесущее колесо, неголономная связь, динамическая система, инвариантная мера, интегрируемость, управляемость
    Цитирование: Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С.,  Тележка с омниколесами на плоскости и сфере, Нелинейная динамика, 2011, т. 7, № 4, с. 785-801
    DOI:10.20537/nd1104004
    Борисов А. В., Мамаев И. С.
    Подробнее
    В работе рассматриваются две новые интегрируемые системы, восходящие к Чаплыгину, которые описывают качение по плоскости сферической оболочки с шаром или гироскопом Лагранжа внутри. Приведены все необходимые первые интегралы и инвариантная мера, указано сведение к квадратурам.
    Ключевые слова: неголономная связь, интегрируемость, инвариантная мера, гироскоп, квадратура, связка твердых тел
    Цитирование: Борисов А. В., Мамаев И. С.,  Две неголономные интегрируемые связки твердых тел, Нелинейная динамика, 2011, т. 7, № 3, с. 559-568
    DOI:10.20537/nd1103011
    Болсинов А. В., Борисов А. В., Мамаев И. С.
    Подробнее
    Работа посвящена использованию бифуркационного анализа и индекса Конли в гамильтоновых динамических системах. Приведено доказательство теоремы о рождении (исчезновении) неподвижных точек при смене индекса Морса. Найдены новые относительные равновесия в задаче о движении точечных вихрей равной интенсивности в круге.
    Ключевые слова: индекс Морса, индекс Конли, бифуркационный анализ, бифуркационная диаграмма, гамильтонова динамика, неподвижная точка, относительное равновесие
    Цитирование: Болсинов А. В., Борисов А. В., Мамаев И. С.,  Бифуркационный анализ и индекс Конли в механике, Нелинейная динамика, 2011, т. 7, № 3, с. 649-681
    DOI:10.20537/nd1103017
    Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С.
    Подробнее
    В работе исследованы две задачи из неголономной механики, связанные с качением шаров. Одна из них — классическая задача С.А. Чаплыгина о качении без проскальзывания уравновешенного динамически несимметричного шара по горизонтальной плоскости. Другая — предложенная Ю.Н.Фёдоровым новая задача о движении твердого тела в шаровом подвесе. Для первой задачи мы подробно рассматриваем нетривиальное преобразование, примененное Чаплыгиным к интегрированию системы при ненулевой константе площадей и проясняем его геометрический смысл (у Чаплыгина это преобразование представлено довольно сложными, неочевидными аналитическими выкладками). Оказывается, что при понимании его геометрии преобразование Чаплыгина может быть обобщено на задачу о движении тела в шаровом подвесе, для которой с момента ее постановки в 1988 г. не было предложено никаких успешных подходов к методике явного интегрирования. В нашей работе показано, что с помощью обобщения преобразования Чаплыгина эта новая задача сводится к классической системе Чаплыгина. Выполненное нами обобщение позволяет не только явно проинтегрировать уравнения движения шарового подвеса в квадратурах, но и исследовать особо замечательные критические траектории и их устойчивость, выполнить качественный анализ движения задачи. Вполне возможно, что указанные решения могут иметь приложения в различных технических устройствах и при конструировании робототехнических мобильных средств. Кроме того, мы рассматриваем случай, когда к системе с шаровым подвесом добавлен постоянный гиростатический момент. Показано, что добавление гиростата не приводит к потере интегрируемости задачи.
    Ключевые слова: неголономная механика, шаровой подвес, шар Чаплыгина, явное интегрирование, изоморфизм, бифуркационный анализ
    Цитирование: Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С.,  Обобщение преобразования Чаплыгина и явное интегрирование шарового подвеса, Нелинейная динамика, 2011, т. 7, № 2, с. 313-338
    DOI:10.20537/nd1102008
    Борисов А. В., Газизуллина Л., Мамаев И. С.
    Подробнее
    Статья написана для готовящегося к изданию сборника избранных работ Владимира Андреевича Стеклова, озаглавленного составителями «Работы по механике 1902–1909 гг.: Переводы с французского». Основу сборника составили работы В. А. Стеклова по механике, опубликованные во французских журналах в период 1902–1909 гг.
    Цитирование: Борисов А. В., Газизуллина Л., Мамаев И. С.,  О наследии В.А.Стеклова по классической механике, Нелинейная динамика, 2011, т. 7, № 2, с. 389-403
    DOI:10.20537/nd1102012
    Борисов А. В., Мамаев И. С., Васькина А. В.
    Подробнее
    В работе применяется топологический подход для поиска и анализа устойчивости относительных равновесий для системы трех вихрей равной интенсивности в круговой области. Явно выполнена редукция на одну степень свободы. Найдены две новые стационарные конфигурации — равнобедренная и коллинеарная несимметричная, построены бифуркационные диаграммы, выполнен анализ устойчивости для этих случаев.
    Ключевые слова: точечный вихрь, редукция, бифуркационная диаграмма, относительные равновесия, устойчивость, периодические решения
    Цитирование: Борисов А. В., Мамаев И. С., Васькина А. В.,  Новые относительные равновесия в системе трех точечных вихрей в круговой области и их устойчивость, Нелинейная динамика, 2011, т. 7, № 1, с. 119-138
    DOI:10.20537/nd1101006
    Борисов А. В., Мамаев И. С., Иванова T. Б.
    Подробнее
    Рассмотрены фигуры равновесия и исследована устойчивость жидкого самогравитирующего эллиптического цилиндра с внутренним течением в классе эллиптических возмущений. Построена бифуркационная диаграмма данной системы, указаны условия существования стационарных решений.
    Ключевые слова: самогравитирующая жидкость, эллиптический цилиндр, точка бифуркации, устойчивость, уравнения Римана
    Цитирование: Борисов А. В., Мамаев И. С., Иванова T. Б.,  Устойчивость жидкого самогравитирующего эллиптического цилиндра с внутренним вращением, Нелинейная динамика, 2010, т. 6, № 4, с. 807-822
    DOI:10.20537/nd1004006
    Болсинов А. В., Борисов А. В., Мамаев И. С.
    Подробнее
    В работе рассматривается проблема гамильтонизации неголономных систем, как интегрируемых, так и неинтегрируемых. Этот вопрос является важным при качественном исследовании этих систем и позволяет определить возможные динамические эффекты. Первая часть работы посвящена представлению в конформно гамильтоновой форме интегрируемых систем. Во второй части доказывается существование конформно гамильтонового представления в окрестности периодического решения для произвольной (в том числе интегрируемой) системы, сохраняющей инвариантную меру. Общие конструкции всюду иллюстрируются примерами из неголономной механики.
    Ключевые слова: конформно гамильтонова система, неголономная система, инвариантная мера, периодическая траектория, инвариантный тор, интегрируемая система
    Цитирование: Болсинов А. В., Борисов А. В., Мамаев И. С.,  Гамильтонизация неголономных систем в окрестности инвариантных многообразий, Нелинейная динамика, 2010, т. 6, № 4, с. 829-854
    DOI:10.20537/nd1004008
    Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С.
    Подробнее
    В работе исследуется новая задача о взаимном обкате тел со сферическими поверхностями, обобщающая известную задачу Чаплыгина о качении шара по плоскости. В отличие от ранее исследуемых неголономных систем рассматриваемая система имеет бóльшую размерность и значительно сложнее для анализа. Замечательной особенностью указанной системы является существование скрытых первых интегралов движения линейных по моментам, аналоги которых были обнаружены ранее Чаплыгиным в более простой интегрируемой системе. В работе найдены частные интегрируемые случаи исследуемой системы.
    Ключевые слова: неголономная связь, качение, шар Чаплыгина, интеграл, инвариантная мера
    Цитирование: Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С.,  Качение однородного шара по динамически несимметричной сфере, Нелинейная динамика, 2010, т. 6, № 4, с. 869-889
    DOI:10.20537/nd1004010
    Борисов А. В., Мамаев И. С.
    Ответ на замечания А.Т. Фоменко
    2010, том 6, № 4, с.  893-895
    Подробнее
    Цитирование: Борисов А. В., Мамаев И. С.,  Ответ на замечания А.Т. Фоменко, Нелинейная динамика, 2010, т. 6, № 4, с. 893-895
    DOI:10.20537/nd1004012
    Борисов А. В.
    Ответ В.Ф. Журавлеву
    2010, том 6, № 4, с.  897-901
    Подробнее
    От редакции. Обсуждаемая в полемической переписке А.В. Борисова и В.Ф. Журавлева тема о применимости различных моделей контактного взаимодействия тел важна сама по себе; многие имеющиеся здесь проблемы полностью не решены до сих пор. Положительно, что на страницах этого выпуска свое мнение по этим вопросам дали и другие авторы. Указанная тема остается открытой для обсуждения и в будущих выпусках «НД».

    Статьи по теме дискуссии:
    А.В. Борисов, И.С. Мамаев. Законы сохранения, иерархия динамики и явное интегрирование неголономных систем. НД, 2008, т.4, № 3, с. 223-280
    В.Ф. Журавлев. Отклик на статью А. В. Борисова и И.С. Мамаева «Законы сохранения, иерархия динамики и явное интегрирование неголономных систем». Ответ А.В. Борисова. НД, 2010, т.6, № 2, с. 365-369
    В.Ф. Журавлев. Ответ А.В. Борисову. НД, 2010, т.6, № 3, с. 671-674
    А.В. Борисов. Ответ В.Ф. Журавлеву. НД, 2010, т.6, № 4, с. 897-901
    В.В. Козлов. Замечания о сухом трении и неголономных связях. НД, 2010, т.6, № 4, с. 903-906
    А.П. Иванов. Сравнение моделей трения в динамике шара на плоскости. НД, 2010, т.6, № 4, с. 907-912

    См. также:
    А.П. Иванов. Бифуркации в системах с трением: основные модели и методы. НД, 2009, т.5, № 4, с. 479-498
    А.П. Иванов. Геометрическое представление условий отрыва в системе с односторонней связью. НД, 2008, т.4, № 3, с. 303-312
    А.П. Иванов. Об условиях отрыва в задаче о движении твердого тела по шероховатой плоскости. НД, 2008, т.4, № 3, с. 287-302
    А.П. Маркеев. Динамика твердого тела при наличии его соударений с твердой поверхностью. НД, 2008, т.4, № 1, с. 1-38
    Цитирование: Борисов А. В.,  Ответ В.Ф. Журавлеву, Нелинейная динамика, 2010, т. 6, № 4, с. 897-901
    DOI:10.20537/nd1004013
    Борисов А. В., Болотин С. В., Килин А. А., Мамаев И. С., Tрещев Д. В.
    Подробнее
    Цитирование: Борисов А. В., Болотин С. В., Килин А. А., Мамаев И. С., Tрещев Д. В.,  Валерий Васильевич Козлов. К 60-летию, Нелинейная динамика, 2010, т. 6, № 3, с. 461-488
    DOI:10.20537/nd1003001
    Борисов А. В., Мамаев И. С., Рамоданов С. М.
    Динамическая адвекция
    2010, том 6, № 3, с.  521-530
    Подробнее
    В работе введено новое понятие динамической адвекции, описывающее динамику пассивной массивной примеси в плоском потоке идеальной несжимаемой жидкости. В отличие от стандартной модели адвекции, рассматриваемой в большинстве современных работ, уравнения движения затрагивают не только кинематический аспект движения примеси (движение которой определяется уравнениями Эйлера), но и ее динамическое поведение. Рассмотрен ряд простейших модельных задач.
    Ключевые слова: адвекция, перемешивание, точечный вихрь, крупнозернистая примесь, бифуркационный комплекс
    Цитирование: Борисов А. В., Мамаев И. С., Рамоданов С. М.,  Динамическая адвекция, Нелинейная динамика, 2010, т. 6, № 3, с. 521-530
    DOI:10.20537/nd1003004
    Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С.
    Подробнее
    В данной работе предложена новая модель неголономного бильярда, учитывающая собственное вращение шара. Данная модель получена с помощью предельного перехода от задачи о качении шара без проскальзывания по поверхности второго порядка. Проведено качественное исследование динамики неголономного бильярда между двумя параллельных стенок и внутри круга. С помощью построения трехмерного точечного отображения показана неинтегрируемость неголономного бильярда внутри эллипса.
    Ключевые слова: бильярд, удар, точечное отображение, неинтегрируемость, периодическое решение, неголономная связь, интеграл движения
    Цитирование: Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С.,  К модели неголономного бильярда, Нелинейная динамика, 2010, т. 6, № 2, с. 373-385
    DOI:10.20537/nd1002012
    Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С.
    Подробнее
    В работе рассмотрены вопросы о гамильтонизации и интегрируемости неголономной задачи Суслова и ее обобщения, предложенного Чаплыгиным. Вопросы важны для понимания качественных особенностей динамики этой системы и, в частности, связаны с нетривиальным асимптотическим поведением (то есть некоторой задачей рассеяния). Статья развивает общий подход авторов, основанный на изучении иерархии динамического поведения неголономных систем.
    Ключевые слова: гамильтонова система, скобки Пуассона, неголономная связь, инвариантная мера, интегрируемость
    Цитирование: Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С.,  Гамильтоновость и интегрируемость задачи Суслова, Нелинейная динамика, 2010, т. 6, № 1, с. 127-142
    DOI:10.20537/nd1001009
    Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С.
    Подробнее
    В работе показана суперинтегрируемость системы, описывающей движение материальной точки в поле нечетного числа одинаковых гуковских центров, расположенных на экваторе сферы. Гипотеза о суперинтегрируемости этой системы была высказана нами в [3], где также была первоначально указана общая структура суперинтеграла, имеющего сколь угодно высокую нечетную степень по импульсам. Указан изоморфизм этой системы с рассмотренной недавно в [13] задачей о взаимодействии N частиц на прямой, на которую также можно перенести указанный суперинтеграл.
    Ключевые слова: суперинтегрируемые системы, системы с потенциалом, гуковский центр
    Цитирование: Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С.,  Новая суперинтегрирумая система на сфере, Нелинейная динамика, 2009, т. 5, № 4, с. 455-462
    DOI:10.20537/nd0904001
    Борисов А. В., Мамаев И. С., Рамоданов С. М.
    Подробнее
    В работе рассматривается класс задач, связанных с динамикой твердого тела, взаимодействующего с точечными вихрями на двумерной сфере. Развивается общий подход к двумерной гидродинамике на сфере. Показана интегрируемость задачи о взаимодействии динамически симметричного кругового цилиндра и единственного вихря. Вводится новая модель массовых вихрей на $S^2$, обсуждаются возникающие для этой модели основные задачи — уравнения движения, вопросы интегрируемости, частные решения. Работа является продолжением более ранних исследований авторов, посвященных взаимодействию твердого тела и вихрей на плоскости.
    Ключевые слова: гидродинамика на сфере, взаимодействие тел и вихрей в жидкости, массовый вихрь, уравнения движения, интегрируемость
    Цитирование: Борисов А. В., Мамаев И. С., Рамоданов С. М.,  Движение твердого тела и точечных вихрей на поверхности двумерной сферы, Нелинейная динамика, 2009, т. 5, № 3, с. 319-343
    DOI:10.20537/nd0903002
    Борисов А. В., Мамаев И. С.
    Подробнее
    В работе рассмотрен ряд известных изоморфизмов между задачей Якоби о геодезических и интегрируемыми случаями из динамики твердого тела (случаи Клебша и Бруна). Указаны взаимосвязи между этими изоморфизмами. Сформулирована задача компактификации для геодезических потоков на некомпактных поверхностях. Высказана гипотеза о ее связи с интегрируемостью.
    Ключевые слова: квадрика, геодезические потоки, интегрируемость, компактификация, регуляризация, изоморфизм
    Цитирование: Борисов А. В., Мамаев И. С.,  Изоморфизмы геодезических потоков на квадриках, Нелинейная динамика, 2009, т. 5, № 2, с. 145-158
    DOI:10.20537/nd0902001
    Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С.
    Подробнее
    В данной работе рассматриваются системы материальных точек в евклидовом пространстве, взаимодействующих как друг с другом, так и с внешним полем. Для случая произвольного парного взаимодействия между телами, зависящего только от их взаимного расстояния, указаны новые интегралы, образующие вектор галилеева момента. Приведена соответствующая алгебра интегралов, которую образуют интегралы импульса, момента импульса и галилеева момента.

    Рассмотрены системы частиц, взаимодействие между которыми описывается однородным потенциалом степени однородности $α=-2$. Для этих систем приведена наиболее общая форма дополнительного первого интеграла движения, называемого нами интегралом Якоби. Указана новая нелинейная алгебра интегралов, включающая интеграл Якоби. Систематически описана новая процедура редукции и возможность ее применения в динамике для понижения порядка гамильтоновых систем.

    В статье также приводится ряд новых интегрируемых и суперинтегрируемых систем, являющихся обобщением классических. Приведен ряд обобщений тождества Лагранжа для систем с однородным потенциалом степени однородности $α=-2$, а также с помощью компьютерных экспериментов доказана неинтегрируемость задачи Якоби на плоскости.
    Ключевые слова: многочастичные системы, интеграция Якоби
    Цитирование: Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С.,  Многочастичные системы. Алгебра интегралов и интегрируемые случаи, Нелинейная динамика, 2009, т. 5, № 1, с. 53-82
    DOI:10.20537/nd0901009
    Борисов А. В., Мамаев И. С., Килин А. А.
    Подробнее
    Работа посвящена вопросам динамики жидких и газовых самогравитирующих эллипсоидов. Приводятся обзор литературы и оригинальные результаты авторов в этой области, полученные с помощью современных методов нелинейной динамики. Дается четкая лагранжева и гамильтонова формулировка уравнений движения, в частности описан гамильтонов формализм на алгебрах Ли. Формулируются и исследуются задачи, связанные с неинтегрируемостью и хаосом. Мы классифицируем все известные интегрируемые случаи, а также приводим наиболее естественные гипотезы относительно неинтегрируемости уравнений движения в общем случае. Приводятся результаты численного моделирования, которые, с одной стороны, показывают хаотическое поведение системы, а с другой стороны во многих ситуациях могут служить численным компьютерным доказательством неинтегрируемости (метод трансверсально пересекающихся сепаратрис).
    Ключевые слова: жидкие и газовые самогравитирующие эллипсоиды, интегрируемость, хаотическое поведение
    Цитирование: Борисов А. В., Мамаев И. С., Килин А. А.,  Гамильтонова динамика жидких и газовых самогравитирующих эллипсоидов, Нелинейная динамика, 2008, т. 4, № 4, с. 363-406
    DOI:10.20537/nd0804001
    Борисов А. В., Мамаев И. С., Рамоданов С. М.
    Подробнее
    В работе развивается алгебраический метод редукции систем на сферах, допускающих группу симметрий $SO(4)$. Построены канонические переменные для приведенной системы на двумерной и трехмерной сфере. В качестве примеров разобрана задача двух тел на сфере, потенциал взаимодействия которых зависит от взаимного расстояния и задача трех вихрей на двумерной сфере.
    Ключевые слова: Пуассонова структура, алгебра Ли, подалгебра, переменные Андуайе
    Цитирование: Борисов А. В., Мамаев И. С., Рамоданов С. М.,  Алгебраическая редукция систем на двумерной и трехмерной сферах, Нелинейная динамика, 2008, т. 4, № 4, с. 407-416
    DOI:10.20537/nd0804002
    Борисов А. В., Газизуллина Л., Рамоданов С. М.
    Подробнее
    В современной математике имя Цермело широко известно благодаря его решающему вкладу в создание аксиоматического фундамента теории множеств, а также работам по статистической физике. Однако его наследие содержит также важное, но лишь частично напечатанное и впоследствии забытое исследование по гидродинамике и теории вихрей. Речь идет о диссертации Э. Цермело от 1899 года «Гидродинамическое исследование вихревых движений на поверхности сферы».

    Ниже мы рассмотрим содержание диссертации Цермело более подробно, при этом основное внимание будет уделено второй, неопубликованной, части (главы 3 и 4). Первые две главы были переведены на русский язык (см. НД, 2007 т. 3, номер 1). Будут также приведены некоторые комментарии в контексте современного состояния теории вихревого движения на поверхностях. Эта область по сей день содержит множество открытых вопросов.
    Цитирование: Борисов А. В., Газизуллина Л., Рамоданов С. М.,  Диссертация Э. Цермело о вихревой гидродинамике на сфере, Нелинейная динамика, 2008, т. 4, № 4, с. 497-513
    DOI:10.20537/nd0804008
    Борисов А. В., Мамаев И. С.
    Подробнее
    В работе исследуются различные механические системы с неголономными связями. В частности, рассмотрены вопросы существования тензорных инвариантов (законов сохранения) и их связь с поведением системы. Особое внимание уделено возможности представления уравнений движения в конформно-гамильтоновой форме, которая в данной работе используется, главным образом, для интегрирования систем.
    Ключевые слова: неголономные системы, реализация связей, законы сохранения, иерархия динамика, явное интегрирование
    Цитирование: Борисов А. В., Мамаев И. С.,  Законы сохранения, иерархия динамики и явное интегрирование неголономных систем, Нелинейная динамика, 2008, т. 4, № 3, с. 223-280
    DOI:10.20537/nd0803001
    Борисов А. В., Мамаев И. С., Рамоданов С. М.
    Подробнее
    В работе обсуждается вывод уравнений движения двух сфер в безграничном объеме идеальной несжимаемой жидкости в трехмерном евклидовом пространстве. Указан способпонижения порядка, использующий новые переменные, образующие алгебру Ли. Рассмотрен один из простейших интегрируемых случаев системы.
    Ключевые слова: движение двух сфер, идеальная жидкость, редукция, интегрируемость
    Цитирование: Борисов А. В., Мамаев И. С., Рамоданов С. М.,  Движение двух сфер в идеальной жидкости. I. Уравнения движения в евклидовом пространстве. Первые интегралы и редукция, Нелинейная динамика, 2007, т. 3, № 4, с. 411-422
    DOI:10.20537/nd0704004
    Борисов А. В., Козлов В. В., Мамаев И. С.
    Подробнее
    В работе рассматриваются две задачи из динамики твердого тела, к которым применяются новые методы анализа асимптотического поведения и устойчивости. Первая задача связана с движением твердого тела в безграничном объеме идеальной безвихревой жидкости. Вторая задача, имеющая с первой родственное асимптотическое поведение, описывает движение саней по наклонной плоскости. Уравнения движения этой системы являются неголономными и допускают ряд новых эффектов, нетипичных для гамильтоновых систем. Приведен обзор литературы и сформулированы новые постановки задач, связанные с падением твердого тела в идеальной и вязкой жидкости.
    Ключевые слова: неголономная механика, твердое тело, идеальная жидкость, сопротивляющаяся среда
    Цитирование: Борисов А. В., Козлов В. В., Мамаев И. С.,  Асимптотическая устойчивость и родственные задачи динамики падающего тяжелого твердого тела, Нелинейная динамика, 2007, т. 3, № 3, с. 255-296
    DOI:10.20537/nd0703002
    Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С.
    Подробнее
    Рассмотрена динамика антиподального вихря, представляющего собой систему вихрь+антипод на сфере, имеющих равные по величине, но противоположные по знаку интенсивности. Показано, что система n антиподальных вихрей допускает редукцию на две степени свободы. Рассмотрены случаи двух и трех антиподальных вихрей, проведен их численный анализ. Обсуждаются томсоновские, коллинеарные и равнобедренные конфигурации антиподальных вихрей, построены бифуркационные диаграммы для этих случаев.
    Ключевые слова: гидродинамика, идеальная жидкость, вихревая динамика, точечный вихрь, редукция, бифуркационный анализ
    Цитирование: Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С.,  Новая интегрируемая задача о движении точечных вихрей на сфере, Нелинейная динамика, 2007, т. 3, № 2, с. 211-223
    DOI:10.20537/nd0702006
    Борисов А. В., Мамаев И. С.
    Подробнее
    В работе рассмотрены взаимосвязи, имеющиеся между различными интегрируемыми системами на $n$-мерной сфере $S^n$ и в евклидовом пространстве $R^n$. Некоторые из этих система являются классическими интегрируемыми задачами небесной механики в плоском и искривленном пространствах. Все рассмотренные системы обладают дополнительным квадратичным по импульсам первым интегралом и могут быть явно проинтегрированы с помощью метода разделения переменных. Для анализа таких систем хорошо разработаны методы топологического и качественного анализа. Результатом работы является заключение, что некоторые интегрируемые задачи в пространствах постоянной кривизны не являются существенно новыми системами с точки зрения теории интегрирования, и для их исследования достаточно воспользоваться известными утверждениями из классической небесной механики.
    Ключевые слова: интегрируемые системы, задача двух центров, изоморфизм
    Цитирование: Борисов А. В., Мамаев И. С.,  Изоморфизмы некоторых интегририуемых систем на плоскости и сфере, Нелинейная динамика, 2007, т. 3, № 1, с. 49-56
    DOI:10.20537/nd0701003
    Борисов А. В., Мамаев И. С.
    Подробнее
    В работе рассмотрена задача о качении динамически несимметричного уравновешенного шара (шара Чаплыгина) по поверхности сферы. Предполагается, что при качении равна нулю скорость точки контакта и проекция угловой скорости шара на нормаль к сфере. Эта модель качения без проскальзывания отличается от классической и в некотором приближении реализуется, если поверхность шара является резиновой, а сфера абсолютно шероховатой. Койлером и Ойлерсом для этой задачи недавно была указана мера и гамильтонова структура. Используя эту структуру мы строим изоморфизм этой задачи с задачей о движении точки по сфере в некотором потенциальном поле и указываем интегрируемые случаи.
    Ключевые слова: Шар Чаплыгина, модель качения, гамильтонова структура
    Цитирование: Борисов А. В., Мамаев И. С.,  Качение неоднородного шара по сфере без скольжения и верчения, Нелинейная динамика, 2006, т. 2, № 4, с. 445-452
    DOI:10.20537/nd0604006
    Борисов А. В., Мамаев И. С.
    Подробнее
    В работе предложена одна из возможных процедур понижения порядка для задачи двух тел, движущихся по плоскости Лобачевского $H^2$. Предполагается, что потенциал взаимодействия двух тел друг с другом зависит только от расстояния между телами (это заведомо выполнено для аналога ньютоновского потенциала). Предложенная схема редукции ранее использовалась для анализа задачи двух тел на сфере.
    Ключевые слова: плоскость Лобачевского, первый интеграл, понижение порядка, потенциал взаимодействия
    Цитирование: Борисов А. В., Мамаев И. С.,  Редукция задачи двух тел на плоскости Лобачевского, Нелинейная динамика, 2006, т. 2, № 3, с. 279-285
    DOI:10.20537/nd0603002
    Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С.
    Подробнее
    В работе указан новый интеграл в задаче о движении динамически симметричного шара по поверхности параболоида в поле тяжести. С помощью этого интеграла получены условия устойчивости по Ляпунову стационарных вращений шара вокруг вертикали при условии, что точка контакта расположена в наивысшей, наинизшей или седловой точке параболоида.
    Ключевые слова: неголономная связь, стационарные вращения, устойчивость
    Цитирование: Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С.,  Устойчивость стационарных вращений в неголономной задаче Рауса, Нелинейная динамика, 2006, т. 2, № 3, с. 333-345
    DOI:10.20537/nd0603006
    Борисов А. В., Мамаев И. С.
    Подробнее
    В работе рассмотрено движение двух вихревых колец на сфере. Это движение обобщает известное центрально-симметричное решение уравнений динамики точечных вихрей на плоскости, найденное Д.Н. Горячевым, Н.С. Васильевым и Х. Арефом. Показано, что уравнения движения в этом случае являются интегрируемыми по Лиувиллю, и указано явное сведение к гамильтоновой системе с одной степенью свободы. Указаны два частных случая, при которых решения являются периодическими. Для этих решений приведены явные квадратуры. Описаны фазовые портреты и приведены бифуркационные диаграммы для центрально-симметричного движения четырех вихрей на сфере.
    Ключевые слова: вихри, гамильтониан, движение на сфере, фазовый портрет
    Цитирование: Борисов А. В., Мамаев И. С.,  Динамика двух вихревых колец на сфере, Нелинейная динамика, 2006, т. 2, № 2, с. 181-192
    DOI:10.20537/nd0602003
    Борисов А. В., Мамаев И. С.
    Подробнее
    В работе рассматривается взаимодействие двух вихревых пятен — эллиптических вихрей Кирхгофа, которые движутся в безграничном объеме идеальной несжимаемой жидкости. В качестве модели взаимодействия принята моментная модель второго порядка. Качественно исследован случай интегрируемости вихря Кирхгофа и точечного вихря. Указан новый случай интегрируемости двух вихрей Кирхгофа. Приведена редуцированная форма уравнений двух вихрей Кирхгофа, с помощью которой проведен анализ их регулярного и хаотического поведения.
    Ключевые слова: вихри Кирхгофа, интегрируемость, гамильтониан, устойчивость, точечный вихрь
    Цитирование: Борисов А. В., Мамаев И. С.,  Взаимодействие вихрей Кирхгофа и точечных вихрей в идеальной жидкости, Нелинейная динамика, 2006, т. 2, № 2, с. 199-213
    DOI:10.20537/nd0602005
    Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С.
    Подробнее
    В работе исследован процесс хаотизации фазового портрета в ограниченной задаче о вращении тяжелого твердого тела с закрепленной точкой. Указаны два дополняющих друг друга механизма хаотизации — рост гомоклинической структуры и развитие каскадов бифуркаций удвоения периода. Отмечено адиабатическое поведение системы на нулевом уровне интеграла площадей при стремлении энергии к нулю. Найдены меандровые торы, связанные с нарушением свойства закручивания рассматриваемого отображения.
    Ключевые слова: движение твердого тела, фазовый портрет, механизм хаотизации, бифуркации
    Цитирование: Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С.,  Хаос в ограниченной задаче о вращении тяжелого твердого тела с закрепленной точкой, Нелинейная динамика, 2005, т. 1, № 2, с. 191-207
    DOI:10.20537/nd0502003
    Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С.
    Подробнее
    В работе рассмотрены новый метод конструктивного понижения порядка для систем точечных вихрей на плоскости и сфере. Этот метод близок к классической процедуре исключения узла по Якоби в небесной механике. Однако, в случае динамики вихрей возникают некоторые особые ситуации, требующие отдельного рассмотрения. Более подробно рассмотрена задача приведения четырех точечных вихрей на плоскости и сфере. С помощью сечения Пуанкаре проведен анализ регулярного и хаотического поведения системы четырех вихрей на плоскости и сфере.
    Ключевые слова: редукция, точечный вихрь, уравнения движения, отображение Пуанкаре
    Цитирование: Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С.,  Редукция и хаотическое поведение точечных вихрей на плоскости и сфере, Нелинейная динамика, 2005, т. 1, № 2, с. 233-246
    DOI:10.20537/nd0502006
    Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С.
    Подробнее
    В работе найдено семейство периодических в абсолютном пространстве решений в классической задаче о движении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой на нулевой константе площадей. Данное семейство включает в себя известные решения Делоне (для случая Ковалевской), частные решения для случая Горячева-Чаплыгина, а также решения Стеклова. Приведена генеалогия найденных решений при продолжении по энергии и их связь с вращениями Штауде.

    Показано, что при ненулевом значении интеграла площадей соответствующие решения являются периодическими в равномерно вращающейся вокруг вертикали системе координат.
    Ключевые слова: динамика твердого тела, периодическое решение, продолжение по параметру, бифуркация
    Цитирование: Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С.,  Абсолютные и относительные хореографии в динамике твердого тела, Нелинейная динамика, 2005, т. 1, № 1, с. 123-141
    DOI:10.20537/nd0501007
    Борисов А. В., Мамаев И. С., Рамоданов С. М.
    Подробнее
    Рассматривается задача о плоскопараллельном движении двух круговых цилиндров в идеальной безвихревой несжимаемой жидкости. Предполагается, что циркуляции вокруг цилиндров равны по величине и противоположны по знаку. Отдельно рассмотрены частные (ограниченные) постановки задачи, когда циркуляции вокруг цилиндров равны нулю, а цилиндры движутся вдоль неподвижной прямой. Эти постановки родственны аналогичным задачам о взаимодействии в жидкости двух сфер, восходящих к Карлу и Вильгельму Бьёркнесам, Г. Ламбу и Н.Е. Жуковскому.

    Введена новая предельная постановка задачи, для которой радиусы цилиндров стремятся к нулю (а циркуляции и массы цилиндров — ненулевые). Указано ее сведение к задаче о движении частицы в поле потенциальных и гироскопических сил. Найден новый интегрируемый случай полученных уравнений. В качестве обобщения этой предельной постановки задачи получены гамильтоновы уравнения движения произвольного числа так называемых массовых вихрей (бесконечно тонких цилиндров, обладающих произвольными массами и циркуляциями). Эти уравнения обобщают классические уравнения Кирхгофа, описывающие движения n-точечных вихрей (вихревых нитей) на плоскости. Указаны первые интегралы полученных уравнений движения.
    Ключевые слова: идеальная жидкость, циркуляция, твердое тело, качественный анализ
    Цитирование: Борисов А. В., Мамаев И. С., Рамоданов С. М.,  Взаимодействие двух круговых цилиндров в идеальной жидкости, Нелинейная динамика, 2005, т. 1, № 1, с. 3-21
    DOI:10.20537/nd0501001

    Вернуться к списку